46、概率程序预期运行时间推理与浮点数值精度提升

概率程序预期运行时间推理与浮点数值精度提升

1. 确定性程序的运行时间

预期运行时间（ert）的概念同样适用于确定性程序，即不包含概率守卫、概率赋值和非确定性选择运算符的程序。我们发现，确定性程序的 ert 与通过扩展 Hoare 逻辑推导得出的运行时间的最紧上界相吻合。

1.1 编程语言限制

为了将 ert 与相关演算进行比较，我们将编程语言限制为确定性程序的语言 dProgs，其语法如下：

C ::= skip | x := E | C; C | if (ξ) {C} else {C} | while (ξ) {C}

其中，E 是确定性表达式，ξ 是确定性守卫，对于每个状态 σ ∈Σ，⟦E⟧(σ) 和 ⟦ξ⟧(σ) 都是 Dirac 分布。

1.2 程序的 MDP 模型

对于确定性程序，程序 C ∈dProgs 和程序状态 σ ∈Σ 的马尔可夫决策过程（MDP）M₀₍σ₎⟦C⟧ 是一个带标签的转换系统。如果从 M₀₍σ₎⟦C⟧ 的初始状态可以到达形式为 ⟨↓, σ′⟩ 的终止状态，那么该终止状态是唯一的。

1.3 Nielson 的 Hoare 演算扩展

Nielson 开发了经典 Hoare 演算的扩展，用于确定程序运行时间的上界。正确性属性的形式为：

{ P } C { E ⇓Q }

其中，C ∈dProgs，E 是关于程序变量的确定