41、可计算分布在语义学中的应用

可计算分布在语义学中的应用

1. 条件语义与可计算性背景

条件语义（在可计算的情况下）可以通过计算条件分布的程序来表示，也能将其作为库函数赋予语义，这样就能使用熟悉的推理原则编写概率程序。而且该方法可用于为机器学习社区使用的概率语言赋予语义。

在可计算性和分布方面，Type - 2可计算性为实数和分布提供了可计算性的概念。直观上，若能枚举一个实数的二进制展开，它就是可计算的。但图灵机算法在有限时间内只能枚举展开的有限前缀，所以Type - 2可计算性将传统算法概念扩展到了位流计算。

Type - 2算法用传统图灵机代码指定，计算（部分）位流函数，其输出的有限前缀由输入的有限前缀决定（有限前缀属性）。这意味着Type - 2算法能用有限输入在有限时间内将函数计算到任意精度，尽管无法在有限时间内计算整个输出位流。

更正式地，实数 $x \in R$ 可计算，当且仅当能枚举收敛到 $x$ 的快速柯西有理数序列。例如，$\pi$ 是可计算实数，其一种级数展开为：
[
\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left(\frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)
]
算法可利用此级数展开和收敛速率得到快速柯西序列。

函数 $f : R \to R$ 可计算，若给定 $x \in R$ 的快速柯西编码，存在算法输出 $f(x)$ 的快速柯西序列。例如，加法 $ + : R \times R \to R$ 是可计算的，因为算法可逐元素相加输入序列得到输出