16、非参数平稳时间序列预测：局部平均估计与通用一致预测策略

非参数平稳时间序列预测：局部平均估计与通用一致预测策略

1. 局部平均估计方法概述

在非参数估计领域，局部平均估计是一类重要的方法，它通过对局部数据的平均来估计回归函数。常见的局部平均估计方法包括分区估计、核估计、最近邻估计等。这些方法在不同的场景下具有各自的优势和适用范围。

2. 核估计

核估计是一种常用的局部平均估计方法，其中Nadaraya - Watson核估计是其典型代表。
- 核估计的定义 ：设$K: R^d \to R^+$为核函数，$h > 0$为带宽，核估计定义为：
[mn(x) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} K(\frac{x - X_i}{h}) Y_i}{\sum_{i = 1}^{n} K(\frac{x - X_i}{h})}]
其中权重$W_{n,i}(x) = \frac{K(\frac{x - X_i}{h})}{\sum_{j = 1}^{n} K(\frac{x - X_j}{h})}$，该估计是$Y_i$的加权平均，权重取决于$X_i$与$x$的距离。
- 朴素核的情况 ：若使用朴素核（或窗口核）$K(x) = I_{ {|x| \leq 1}}$，则核估计变为：
[mn(x) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} I_{ {|x - X_i| \leq h}} Y_i}{\sum_{i = 1}^{n} I_{ {|x - X_i| \leq h}}}]
即通过平均与$x$距离不大于$h$的$Y_i$来估计$m