71、R语言中的多层线性模型：原理、应用与实践

R语言中的多层线性模型：原理、应用与实践

1. 多层模型概述

多层模型适用于分析具有层次结构的数据。例如，在心理治疗后测量患者的抑郁程度，样本中的患者会在不同诊所看不同的治疗师，这就形成了一个三级层次结构：患者的抑郁分数（一级）嵌套在治疗师（二级）中，而治疗师又嵌套在诊所（三级）中。

与普通回归不同，多层模型允许参数变化，即随机效应，而普通回归中的参数通常是从样本估计的固定值（固定效应）。如果在每个情境（如治疗师或诊所）内估计线性模型，而不是对整个样本进行估计，那么可以假设这些模型的截距不同（随机截距模型）、斜率不同（随机斜率模型）或两者都不同。

比较不同模型（假设它们仅在一个额外参数上有所不同）可以通过查看 -2LL 的差异来进行。通常在只改变一个参数（向模型中添加一个新事物）时会这样做。对于任何模型，都需要假设一个协方差结构。随机截距模型默认使用方差分量，而当斜率为随机时，通常假设为无结构协方差结构。当数据是随时间测量时，通常假设为自回归结构（AR(1)）。

2. 多层模型的假设

多层线性模型是回归的扩展，因此回归的所有假设都适用于多层模型。不过，独立性和独立误差的假设有时可以通过多层模型来解决，因为该模型的目的是考虑由高层变量引起的案例之间的相关性。如果缺乏独立性是由二级或三级变量引起的，那么多层模型应该可以解决这个问题（尽管并非总是如此）。

多层模型还有两个与随机系数相关的额外假设。这些系数假设围绕整体模型呈正态分布。因此，在随机截距模型中，不同情境下的截距假设围绕整体模型呈正态分布；在随机斜率模型中，不同情境下模型的斜率也假设呈正态分布。

此外，当数据层次中存在跨层次的交互作用（跨层次交