28、概率系统类型的形式化层次结构

概率系统类型的形式化层次结构

1. 概率质量函数

概率质量函数（pmf）用于表示离散随机变量在类型 $\alpha$ 上的分布。对于 pmf 有两种视角：
- 作为一个非负实值函数，其所有取值之和为 1。
- 作为一个离散概率测度，存在一个可数集 $S$，其概率为 1。

在形式化过程中，我们采用测度视角。一个测度 $M :: \alpha \text{ measure}$ 由可测集的 $\sigma$-代数 $\text{sets } M$ 和一个非负且在 $\text{sets } M$ 上可数可加的测度函数 $\mu_M$ 组成。概率分布 $M$ 会给整个空间赋予概率 1（即 $\mu_M \text{UNIV} = 1$），当且仅当每个集合都是可测的（$\text{sets } M = \text{UNIV}$）且存在一个可数集 $S$ 使得 $\mu_M S = 1$ 时，它是离散的。

定义 $\alpha$ 类型的 pmf 如下：

typedef α pmf = {M :: α measure |
μ M UNIV = 1 ∧ sets M = UNIV ∧ (∃S. countable S ∧ μ M S = 1)}

typedef 命令会生成一个表示函数 measurepmf :: α pmf ⇒ α measure ，将其声明为强制转换函数后，在大多数情况下可以省略。例如，我们用 $\mu_p A$ 表示 $\mu (\text{measurepmf } p) A$，那么一个值 $x$ 的概率质量就是其单元素集 $