20、并查集算法的机器验证与复杂度分析

并查集算法的机器验证与复杂度分析

1. 节点秩的引入与性质

为了实现按秩合并操作并对其进行推理，我们为图中的每个节点赋予一个秩。为此，引入了一个类型为 V → N 的函数 K 。该函数具有以下有趣的性质：
- 由于按秩合并操作会使秩较低的节点成为秩较高节点的子节点，且只有根节点的秩会增加，所以沿着图的边，节点的秩是递增的。
- 节点的秩不会超过 log |D| 。具体而言，如果一个根节点的秩为 p ，那么以它为根的树至少包含 2^p 个元素。

我们使用一个新的谓词 is_rdsf 来记录这些性质，该谓词扩展了 is_dsf ，同时还记录了集合 D 是有限集这一事实。此外，方便起见，规定函数 K 在集合 D 之外的值统一为 0。具体定义如下：

Definition is_rdsf D F K :=
  is_dsf D F ∧
  (∀x y, F x y → K x < K y) ∧
  (∀r, is_root F r → 2ˆ(K r) ⩽ card (descendants F r)) ∧
  finite D ∧
  (∀x, x ∉ D → K x = 0).

值得注意的是，尽管在运行时只有根节点才携带秩，但在数学分析中，函数 K