19、并查集正确性的机器验证：从理论到实践

并查集正确性的机器验证：从理论到实践

1. 验证框架与基础工具

在验证操作的实现是否满足其规范时，我们依赖于CFML工具。CFML基于分离逻辑和特征公式，能自动从OCaml术语 t 构建特征公式 ⟦t⟧ 。这个特征公式是一个高阶逻辑公式，描述了 t 的语义。具体而言，对于任意前置条件 H 和后置条件 Q ，若能在Coq中证明命题 ⟦t⟧ H Q ，那么分离逻辑三元组 {H} t {Q} 成立。

我们的证明工作在Coq证明辅助工具中进行，这使得我们能够在统一的框架下对并查集数据结构进行数学分析，并逐步分析其OCaml实现。除了Coq，我们还信赖CFML的元理论和实现。CFML生成的特征公式在我们的Coq证明中被当作公理接受，因为这些公式是由一个经过理论证明其可靠性的工具系统生成的。此外，为了方便证明，我们还使用了一些标准的逻辑公理，如函数扩展性、谓词扩展性、排中律和希尔伯特的 ϵ 运算符。

我们的主要贡献包括：
- 提出了第一个支持堆分配、突变和摊还复杂度分析的实用验证框架。
- 首次对基于势函数的并查集分析进行了形式化。
- 首次对并查集实现的正确性和时间复杂度进行了集成验证。

2. 时间信用、分离逻辑与特征公式

2.1 分离逻辑中的时间信用

在分离逻辑中，堆谓词的类型为 Heap → Prop ，用于刻画堆的一部分。