2、求解“困难”问题以逼近“简单”问题

求解“困难”问题以逼近“简单”问题

1. 最大加权匹配问题（MWMP）

1.1 CROSS 启发式算法的性能

在某些示例中，CROSS 启发式算法的最坏情况相对误差估计约为 15%，这是因为最优匹配与启发式匹配的比率可能接近 2/√3。不过，这种最坏情况不太可能出现，实际误差要小得多。当点集处于严格凸位置时，CROSS 算法能确定唯一的最优解。因为在这种情况下，任何匹配边对都必须交叉，否则可以通过 2 - 交换来改进匹配。

1.2 改进上界

使用 FWP(P) 作为 MWMP(P) 的上界时，将匹配边与射线对进行比较。若射线间夹角为 π，即点位于中心点 c 的对侧时达到相等。但可能存在没有与点 pi 相对的点的情况，此时可以降低上界 FWP(P)。具体操作是将距离 d(c, pi) 替换为 d - minj≠i(d(c, pi) + d(c, pj) - d(pi, pj)) / 2。
还可以对中心点 c 的可能位置进行优化，得到改进的上界 FWP’(P)：
[FWP’(P) = \min_{c\in\mathbb{R}^2} \sum_{p_i\in P} d(c, p_i) - \min_{j\neq i} \frac{d(c, p_i) + d(c, p_j) - d(p_i, p_j)}{2}]
这种改进对于聚类实例尤为显著，但计算修改后的上界 FWP’(P) 的运行时间是超二次的，因此仅适用于中等规模的实例且有足够时间的情况。

1.3 整数性结果

在组合优化中，将问题建模为整数规划，然后求解线性规划松弛是一种标准方法。对于 MWMP 问题，这种方法效果很好。若 x 是