15、量子代数与量子主丛结构解析

量子代数与量子主丛结构解析

1. 带星号结构的编织外代数

在这一部分，我们将深入探讨带星号（ ）结构的编织外代数。首先，我们给出相关的定义。设 (A) 是一个 * - Hopf 代数，((\Omega, \hat{\Omega}, \Omega\hat{})) 是 (A) 上的一个分次双协变代数，同时也是 (A) 上的一个 * - 协变双模，并且具有 * - 运算 ( : \Omega \to \Omega)。若满足以下两个条件，我们就称 ((\Omega, \hat{\Omega}, \Omega\hat{})) 是一个分次 * - 协变代数：
1. * - 运算保持次数，即对于所有 (n \geq 0)，有 ((\Omega_n)^ \subseteq \Omega_n)。
2. * - 运算是分次反乘法的，也就是说，对于所有 (\omega_1 \in \Omega_j) 和 (\omega_2 \in \Omega_k)，有 ((\omega_1\omega_2)^ = (-1)^{jk}\omega_2^ \omega_1^ )。

下面的定理体现了上述定义的重要性。假设 (A) 是一个 * - Hopf 代数，((\Gamma, \hat{\Gamma}, \Gamma\hat{})) 是 (A) 上的一个 * - 协变双模。那么基于 ((\Gamma, \hat{\Gamma}, \Gamma\hat{})) 的外代数 ((\wedge\Gamma, \hat{\wedge\Gamma}, \wedge\Gamma\hat{})) 具有唯一的 * - 运算，使得以下条件成立：
1. 在 (\wedge