关于开平方方法的研究

关于开方的研究

怎么说呢，这个开方的方法是自己初中的时候无意间研究发现的吧，这个方法只能开能开出来的数字，对于不能开出来的就没办法了，至于按照这种方法得到的是不是它的近似解，后来也没有去证明了。最近突然给我妹妹补课，讲到这个方法，突然想起来要把它写出来。也提供一种思路吧，有兴趣的人可以往后研究下。
首先100以内的数字的开方肯定不用说了， 中国人都背熟了。本文主要就是针对100-1000之间的数字的开平方，做了一下研究。

前提

前面已经说了，本文研究的范围是（100，10000）区间的数字。由于我们知道10的平方为100，100的平方为10000，所以在这个区间之内的数字开方之后得到的都是两位数（包含个位，十位）。当然这里对于开方后不是整数的不作研究，我们只给出证明其开方结果是否正确的证明。详细见后文

知识储备

首先我们要知道以下的数字平方后的规律：

数字	平方末位
1	1
2	4
3	9
4	6
5	5
6	6
7	9
8	4
9	1
0	0

在这个表中，平方后的末位中有0，1，4，5，6，9。没有其他的数字，所以当我们看到末位是其他数字的时候，那肯定就不能开整数根了。同时也可以看到两个互补的数（相加为10）他们平方的末位都是一样的，这点对我们后面的试开根很重要。要掌握下面的开方法，以上的基础知识是必要的。

开方方法

• 三位数开方法
  如图所示，比如我们对676这个数字进行开平方根，我们利用上面的表格里的末位数字进行检验，发现6在其中，所以可能可以开出整数根，于是对他尝试进行开方。首先利用如图的算式，将数字从后面分，后两位在一起，百位单独在一起，分成两部分，然后从左到右进行开方。首先对6进行试开根。最大能开到2，因为2的平方为4，3的平方为9，所以对其试开2，记为a，并写在右边。
  
  然后将2的平方写在第一部分下，并用第一部分减去他，这里也就是用6减去4等于2，我们姑且叫它首差吧。此时我们对后面的进行时开根。发现末位6 只能是4或者6的平方得到的数字，但是究竟是4，还是6呢，这里我给出一个方法，但是本人没有对其进行严格的证明，不过试过了很多次没有错误，如果有大神能帮我证明下，必定感激不尽。这个时候我们来比首差跟开出来的第一个数字2对比，如果首差大于或等于开出来的第一个数字那么我们就选打大的，否则选小的那个，在这里2>=2,所以我们选择6作为后面部分开出来的值，记为b。于是我们就认为这个结果就是26，但是究竟是不是还需要验证。此时我们对6进行平方得到36，写在第二部分的下面，并得到后面部分的差40，最终得到整体的差240，然后我们只需要证明我们开出来的值的ab，计算20*a*b？=240，如果等式成立，那么我们开出来的就是对的，否则这个数字不能开出整数根，后面给出这个验算方法的原理。
• 四位数开方法
  四位数的开方法跟三位数的一样，只是在第一次分的时候前面部分是两个数字，后面部分也是两个数字，其他的步骤都是一样的，这里就不在 做详细的阐述。

对验算方法的证明

首先我们给出标记：ab=a*10+b,其中a,b为0-9的数字。则（ab）（ab）=（a*10+b）(a*10+b)=100a*a+b*b+20*a*b。
如果我们开方得到的是正确答案的话，也就是如果我们得到的ab是正确的，那么他一定满足上面的公式。而我们上面做的减法其实就是用（ab）*（ab）-100a*a-b*b，所以只需要检验这个差是不是为20*a*b即可。

展望，后记

本人在此基础上做过一些对两位及两位以下数字的立方进行开立方的研究，操作跟以上方法基本类似，也得到了一些不错的效果，只是后来并没有深入研究了。本来打算后来慢慢研究的，随着后面学习的紧张，以及步入高中学业难度的增加，也就没再去研究的时间。到了大学没有做数学方面的研究。渐渐的也没有那么感兴趣了。今天写出来就算是跟大家分享一下。