6、递归关系的深入探讨与求解方法

递归关系的深入探讨与求解方法

1. 递归关系基础与主定理

主定理是分析递归关系的重要工具，只要 (f(n) = \Theta(n^k))（其中 (k \geq 0)），主定理一定适用。例如：
- 例 3.22 ：对于 (T(n) = T(\frac{4n}{5}) + \log^2 n)，这里 (a = 1)，(b = \frac{5}{4})，(f(n) = \log^2 n)，(n^{\log_b a} = 1)。(f(n)) 并非多项式级别的大，但规则 4 适用（(k = 2)），所以 (T(n) = \Theta(\log^3 n))。
- 例 3.23 ：对于 (T(n) = 2T(\frac{n}{4}) + \sqrt{n} \log \log n)，(a = 2)，(b = 4)，(f(n) = \sqrt{n} \log \log n)，(n^{\log_b a} = n^{\frac{1}{2}})，(f(n)) 并非多项式级大于 (n^{\log_b a})，因此主定理不适用。

2. 迭代法求解递归关系

迭代法是求解递归关系的常用方法，以下是一些简单递归关系的例子及求解过程：
1. (T(1) = d)，对于所有 (n > 1)，(T(n) = T(n - 1) + c)。
- 求解过程：
(T_n = T_{n - 1} + c = (T_{n - 2} + c) + c = T_{n - 2} + 2c = \cdots = T_1 + (n - 1)c = d + (n - 1)c)
2. (T(0) = 0