5、递归关系：算法分析的利器

递归关系：算法分析的利器

递归关系在分析递归算法时是非常有用的方法。本文将深入探讨递归关系的定义、常见类型以及多种求解方法。

递归关系的定义与示例

递归关系是一种用序列中前面的一项或多项来表示当前项的方程。例如，我们常见的阶乘函数：

n! = 
{
    1, if n = 1
    n · (n - 1)!, if n > 1
}

可以用如下递归算法实现：

int Factorial(int n)
{
    if (n == 1) return 1;
    else
        return n * Factorial(n - 1);
}

该算法执行的乘法次数 $T(n)$ 可以表示为一个递归关系：

T(0) = 0
T(n) = 1 + T(n - 1)

另一个经典的例子是斐波那契数列：

int Fib(int m, int n)
{
    if (n <= 1)
        return n;
    else
        return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}

其递归关系为：

Fi