矩阵论 •「线性子空间及运算」

线性子空间

线性子空间定义

设 $V_1$ 是线性空间 $V$ 的一个非空子集合，且对 $V$ 已有的线性运算满足以下条件：
$$\begin{gathered} \forall \vec{x},\vec{y}\in V_1时,有唯一的\vec{x}+\vec{y}\in V_1（加法封闭） \\ \forall \vec{x}\in V_1时,有唯一的k\vec{x}\in V_1（数乘封闭） \end{gathered}$$
则称线性空间 $V_1$ 是线性空间 $V$ 的一个「线性子空间或子空间」。我们应该感知到，线性子空间 $V_1$ 也是一个线性空间，只不过它内含的元素集合是线性空间 $V$ 所含元素集合的子集；最小的线性子空间是只含 $\vec{0}$ 的线性空间 { 0 ⃗ } \{\vec{0}\} {0 }，最大的线性子空间是 $V$ 本身。因为子空间也是线性空间，所以关于线性空间的一切概念（基、维数等）也适用于线性子空间.

子空间的生成、基扩定理

设 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}...,\overrightarrow{v_m}$ 是 $V$ 中的元素，则它们所有可能的线性组合所得到的元素的集合：
$$\left\{\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^m{k}_i{v}_i\end{array}\right\}$$
构成了 $V$ 的一个线性子空间 $V_1$，称之为由 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}...,\overrightarrow{v_m}$ 生（张）成的子空间，记为 $Span(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}...,\overrightarrow{v_m})$；显然，若 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}...,\overrightarrow{v_m}$ 线性无关，则 $dim(Span(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}...,\overrightarrow{v_m}))=m$；又显然，$dim(V_1)\le dim(V)$.

基扩定理：线性空间 $V$ 的一个线性子空间 $V_1$ 的基，必可扩充为原线性空间 $V$ 的一个基；换言之，在线性空间 $V$ 中必可找到 $dim(V)-dim(V_1)$ 个线性无关的元素，这些元素不在线性子空间 $V_1$ 中，但它们和 $V_1$ 的基在一起所构成的向量组，可以成为原线性空间 $V$ 的一个基.

子空间的交与和

设 $V_1、V_2$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，则：
V 1 ∩ V 2 = { v ⃗ ∣ v ⃗ ∈ V 1 , v ⃗ ∈ V 2 } V 1 + V 2 = { v 1 ⃗ + v 2 ⃗ ∣ v 1 ⃗ ∈ V 1 , v 2 ⃗ ∈ V 2 } \begin{aligned} &V_{1}\cap V_{2}=\left\{\vec{v} | \vec{v} \in V_{1},\vec{v} \in V_{2}\right\}\\ &V_{1}+V_{2}=\left\{\vec{v_1}+\vec{v_2}|\vec{v_1} \in V_{1},\vec{v_2} \in V_{2}\right\} \end{aligned} ​V1​∩V2​={v ∣v ∈V1​,v ∈V2​}V1​+V2​={v1​ ​+v2​ ​∣v1​ ​∈V1​,v2​ ​∈V2​}​
分别称为 $V_1$ 和 $V_2$ 的交与和。显然，若 $V_1、V_2$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，则 $V_1\cap V_2$、$V_1+V_2$ 均为 $V$ 的子空间（隐含了，两个子空间的交与和仍是一个线性空间，这也是为什么不说成“交与并”，“并”的结果不一定是一个线性空间）

维数公式：若 $V_1、V_2$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，则有：
$$\dim (V_1+V_2)+\dim (V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2$$
不作证明，应该有这个直觉能感知到（从基的角度看，$\dim (V_1+V_2)$ 中只包含计算一次 $\dim (V_1\cap V_2)$ ；而 $\dim V_1+\dim V_2$ 会重复计算两次 $\dim (V_1\cap V_2)$；所以左边再加一个 $V_1\cap V_2$ 的维度）

子空间的直和

子空间的直和仍是子空间的和，只不过是反映了两个子空间的关系比较特殊。设 $V_1、V_2$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，若其和空间 $V_1+V_2$ 中的每一个元素 $\vec{\alpha }$，都能唯一地表示为 $V_1$ 的一个元素与 $V_2$ 的一个元素之和：$\vec{\alpha }=\overrightarrow{{\alpha }_1}+\overrightarrow{{\alpha }_2},(\overrightarrow{{\alpha }_1}\in V_1,\overrightarrow{{\alpha }_2}\in V_2)$，那么和 $V_1+V_2$ 则被称为直和，记为 $V_1\oplus V_2$. 以下四种表述等价：

• $V_1+V_2$ 成为直和 $V_1\oplus V_2$；
• V 1 ∩ V 2 = { 0 ⃗ } V_1\cap V_2=\{\vec{0}\} V1​∩V2​={0 }；
• $\dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2$；
• $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2}\cdots ,\overrightarrow{x_s}$ 为 $V_1$ 的基，$\overrightarrow{y_1},\overrightarrow{y_2}\cdots ,\overrightarrow{y_t}$ 为 $V_2$ 的基，则有：$\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2}\cdots ,\overrightarrow{x_s},\overrightarrow{y_1},\overrightarrow{y_2}\cdots ,\overrightarrow{y_t}$ 为 $V_1+V_2$ 的基.