18、非线性系统估计：扩展卡尔曼滤波与无迹卡尔曼滤波

非线性系统估计：扩展卡尔曼滤波与无迹卡尔曼滤波

在非线性系统估计领域，准确且高效的估计方法至关重要。传统上，扩展卡尔曼滤波（EKF）被广泛应用于递归非线性估计，但它存在一定的局限性。本文将介绍一种替代方法——无迹卡尔曼滤波（UKF），并详细对比两者的特点和应用。

1. 近似推理与扩展卡尔曼平滑器

在解决线性方程组系统时，我们常依赖标准的扩展卡尔曼平滑器进行近似推理。然而，这种方法可能存在不准确的问题，特别是在局部线性化是极差近似的情况下。对于这类问题，可以考虑使用其他近似推理技术，如无迹滤波器。

当数据位于非线性流形上时，如何更有效地初始化参数也是一个值得研究的领域。在这种情况下，因子分析提供的静态模型可能并不充分。

目前，信念网络文献中主要有两种近似推理方法：马尔可夫链蒙特卡罗方法和变分近似方法。扩展卡尔曼平滑曾首次被用于EM算法的E步进行近似推理。尽管扩展卡尔曼平滑没有变分方法那样的理论保证，但它的简单性使其在估计和控制领域得到了广泛认可，成为非线性动态系统推理的常用方法。实践表明，扩展卡尔曼算法与EM算法的结合可以为学习非线性动态系统提供强大的工具。

2. 拟合径向基函数（RBFs）所需的期望计算

在拟合RBFs时，需要计算一些期望，如下所示：
- ( \langle x \rangle_{ij} = m_x^j )
- ( \langle z \rangle_{ij} = m_z^j )
- ( \langle xx^T \rangle_{ij} = m_x^j m_x^{j,T} + C_{xx}^j )
- ( \langle zz^T \rangle_{ij} = m_z^j m_z^{j,T} + C_{zz}^j )
- ( \langle xz^T \rangle_{ij} = m_x^j m_z^{j,T} + C_{xz}^j )

当将高斯RBF核 ( r_i(x) ) 与 ( n_j ) 相乘时，会得到一个关于 ( (x, z) ) 的高斯密度，其均值和协方差分别为：
- ( m_{ij} = C_{ij} C_j^{-1} m_j + \begin{bmatrix} S_i^{-1} c_i \ 0 \end{bmatrix} )
- ( C_{ij} = \begin{bmatrix} C_j^{-1} + S_i^{-1} & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}^{-1} )

还有一个额外的常数（由于缺乏归一化）：
- ( b_{ij} = (2\pi)^{-d_x/2} |S_{ij}|^{-1/2} |C_j|^{-1/2} |C_{ij}|^{1/2} \exp(-\frac{1}{2} d_{ij}) )
其中 ( d_{ij} = c_i^T S_i^{-1} c_i + m_j^T C_j^{-1} m_j - m_{ij}^T C_{ij}^{-1} m_{ij} )。

利用 ( b_{ij} ) 和 ( m_{ij} )，可以计算其他期望：
- ( \langle r_i(x) \rangle_{ij} = b_{ij} )
- ( \langle x r_i(x) \rangle_{ij} = b_{ij} m_x^{ij} )
- ( \langle z r_i(x) \rangle_{ij} = b_{ij} m_z^{ij} )

最后，
- ( \langle r_i(x) r_l(x) \rangle_{ij} = (2\pi)^{-d_x} |C_j|^{-1/2} |S_i|^{-1/2} |S_l|^{-1/2} |C_{il}^j|^{1/2} \exp(\frac{1}{2} g_{ilj}) )
其中 ( C_{ilj} = \begin{bmatrix} C_j^{-1} + S_i^{-1} + S_l^{-1} & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}^{-1} )，
( m_{ilj} = C_{ilj} C_j^{-1} m_j + \begin{bmatrix} S_i^{-1} c_i + S_l^{-1} c_l \ 0 \end{bmatrix} )，
( g_{ilj} = c_i^T S_i^{-1} c_i + c_l^T S_l^{-1} c_l + m_j^T C_j^{-1} m_j - m_{ilj}^T C_{ilj}^{-1} m_{ilj} )。

3. 扩展卡尔曼滤波（EKF）与无迹卡尔曼滤波（UKF）概述

传统上，扩展卡尔曼滤波（EKF）是进行递归非线性估计的标准技术，但它只是对最优非线性估计的一种近似。无迹卡尔曼滤波（UKF）由Julier等人首次提出，并由Wan和van der Merwe进一步发展。

EKF和UKF的基本区别在于高斯随机变量（GRV）通过系统动态传播时的表示方式。在EKF中，状态分布被近似为GRV，然后通过非线性系统的一阶线性化进行解析传播。这可能会在变换后的GRV的真实后验均值和协方差中引入较大误差，导致滤波性能不佳甚至发散。

而UKF采用确定性采样方法解决了这个问题。状态分布同样用GRV表示，但使用一组精心选择的样本点来指定。这些样本点完全捕获了GRV的真实均值和协方差，当通过真实的非线性系统传播时，能准确地捕获后验均值和协方差到二阶（泰勒级数展开），而EKF只能达到一阶精度。此外，UKF不需要显式计算雅可比矩阵或海森矩阵，且计算复杂度与EKF处于同一数量级。

4. 应用领域概述

非线性估计的应用领域主要分为以下几类：
- 状态估计 ：基本框架涉及估计离散时间非线性动态系统的状态，系统方程为 ( x_{k+1} = F(x_k, u_k, v_k) ) 和 ( y_k = H(x_k, n_k) )，其中 ( x_k ) 是系统的未观测状态， ( u_k ) 是已知的外部输入， ( y_k ) 是观测到的测量信号， ( v_k ) 是过程噪声， ( n_k ) 是观测噪声。EKF是实现状态 ( x_k ) 的递归（近似）最大似然估计的标准方法。
- 参数估计 ：也称为系统识别或机器学习，涉及确定非线性映射 ( y_k = G(x_k, w) )，其中 ( w ) 是参数向量。例如，非线性映射可以是前馈或递归神经网络，学习过程就是估计参数 ( w )。可以通过编写新的状态空间表示 ( w_{k+1} = w_k + r_k ) 和 ( d_k = G(x_k, w_k) + e_k )，使用EKF来估计参数。
- 双重估计 ：当输入 ( x_k ) 未被观测时，需要同时进行状态估计和参数估计。对于这类双重估计问题，考虑离散时间非线性动态系统 ( x_{k+1} = F(x_k, u_k, v_k, w) ) 和 ( y_k = H(x_k, n_k, w) )，需要从观测到的噪声信号 ( y_k ) 同时估计系统状态 ( x_k ) 和模型参数 ( w )。

5. 最优递归估计与EKF

给定观测值 ( y_k )，目标是估计状态 ( x_k )。在最小均方误差（MMSE）意义下的最优估计是条件均值 ( \hat{x}_k = E[x_k | Y_k^0] )，其中 ( Y_k^0 ) 是直到时间 ( k ) 的观测序列。计算这个期望需要知道后验密度 ( p(x_k | Y_k^0) )。

确定后验密度的问题通常采用贝叶斯方法，可以通过以下递归关系进行评估：
- ( p(x_k | Y_k^0) = \frac{p(x_k | Y_{k-1}^0) p(y_k | x_k)}{p(y_k | Y_{k-1}^0)} )
- ( p(x_k | Y_{k-1}^0) = \int p(x_k | x_{k-1}) p(x_{k-1} | Y_{k-1}^0) dx_{k-1} )
- ( p(y_k | Y_{k-1}^0) = \int p(x_k | Y_{k-1}^0) p(y_k | x_k) dx_k )

如果假设所有密度都保持高斯分布，贝叶斯递归可以大大简化。此时，只需要计算条件均值 ( \hat{x} k = E[x_k | Y_k^0] ) 和协方差 ( P {x_k} )，得到递归估计公式：
- ( \hat{x} k = (\text{预测的 } x_k) + K_k [y_k - (\text{预测的 } y_k)] )
- ( P {x_k} = P_{x_k}^- - K_k P_{\tilde{y}_k} K_k^T )

其中最优项为：
- ( \hat{x} k^- = E[F(x {k-1}, u_{k-1}, v_{k-1})] )
- ( K_k = P_{x_k y_k} P_{\tilde{y}_k}^{-1} )
- ( \hat{y}_k^- = E[H(x_k^-, n_k)] )

在非线性模型中，EKF对这些最优项进行近似：
- ( \hat{x} k^- \approx F(\hat{x} {k-1}, u_{k-1}, \bar{v}) )
- ( K_k \approx \hat{P} {x_k y_k} \hat{P} {\tilde{y}_k}^{-1} )
- ( \hat{y}_k^- \approx H(\hat{x}_k^-, \bar{n}) )

EKF的具体方程如下表所示：
| 步骤 | 方程 |
| ---- | ---- |
| 初始化 | ( \hat{x} 0 = E[x_0] )
( P {x_0} = E[(x_0 - \hat{x} 0)(x_0 - \hat{x}_0)^T] ) |
| 时间更新 | ( \hat{x}_k^- = F(\hat{x} {k-1}, u_{k-1}, \bar{v}) )
( P_{x_k}^- = A_{k-1} P_{x_{k-1}} A_{k-1}^T + B_k R_v B_k^T ) |
| 测量更新 | ( K_k = P_{x_k}^- C_k^T (C_k P_{x_k}^- C_k^T + D_k R_n D_k^T)^{-1} )
( \hat{x} k = \hat{x}_k^- + K_k [y_k - H(\hat{x}_k^-, \bar{n})] )
( P {x_k} = (I - K_k C_k) P_{x_k}^- ) |
其中 ( A_k = \frac{\partial F(x, u_k, \bar{v})}{\partial x} \big| {\hat{x}_k} )， ( B_k = \frac{\partial F(\hat{x}_k^-, u_k, v)}{\partial v} \big| {\bar{v}} )， ( C_k = \frac{\partial H(x, \bar{n})}{\partial x} \big| {\hat{x}_k} )， ( D_k = \frac{\partial H(\hat{x}_k^-, n)}{\partial n} \big| {\bar{n}} )， ( R_v ) 和 ( R_n ) 分别是 ( v_k ) 和 ( n_k ) 的协方差。

然而，这些近似可能会在变换后的（高斯）随机变量的真实后验均值和协方差中引入较大误差，导致滤波性能不佳甚至发散。

6. 无迹卡尔曼滤波（UKF）

UKF解决了EKF的近似问题。下面详细介绍UKF的核心部分——无迹变换和UKF算法本身。

6.1 无迹变换（UT）

无迹变换是一种计算经过非线性变换的随机变量统计量的方法。考虑将随机变量 ( x )（维度为 ( L )）通过非线性函数 ( y = f(x) ) 进行传播，假设 ( x ) 的均值为 ( \bar{x} )，协方差为 ( P_x )。为了计算 ( y ) 的统计量，形成一个包含 ( 2L + 1 ) 个西格玛向量 ( X_i ) 的矩阵 ( \mathcal{X} )，具体如下：
- ( X_0 = \bar{x} )
- ( X_i = \bar{x} + \left( \sqrt{(L + \lambda) P_x} \right) i )， ( i = 1, \cdots, L )
- ( X_i = \bar{x} - \left( \sqrt{(L + \lambda) P_x} \right) {i - L} )， ( i = L + 1, \cdots, 2L )

其中 ( \lambda = \alpha^2 (L + \kappa) - L ) 是缩放参数， ( \alpha ) 通常设置为一个小的正值（例如 ( 10^{-4} \leq \alpha \leq 1 )）， ( \kappa ) 通常设置为 ( 3 - L )， ( \beta ) 用于结合 ( x ) 分布的先验知识（对于高斯分布， ( \beta = 2 ) 是最优的）， ( \left( \sqrt{(L + \lambda) P_x} \right)_i ) 是矩阵平方根（如下三角Cholesky分解）的第 ( i ) 列。

将这些西格玛向量通过非线性函数 ( Y_i = f(X_i) ) 进行传播，然后使用加权样本均值和协方差来近似 ( y ) 的均值和协方差：
- ( \bar{y} \approx \sum_{i = 0}^{2L} W^{(m)} i Y_i )
- ( P_y \approx \sum {i = 0}^{2L} W^{(c)}_i (Y_i - \bar{y}) (Y_i - \bar{y})^T )

权重 ( W_i ) 由下式给出：
- ( W^{(m)}_0 = \frac{\lambda}{L + \lambda} )
- ( W^{(c)}_0 = \frac{\lambda}{L + \lambda} + 1 - \alpha^2 + \beta )
- ( W^{(m)}_i = W^{(c)}_i = \frac{1}{2 (L + \lambda)} )， ( i = 1, \cdots, 2L )

UT方法与一般的蒙特卡罗采样方法有很大不同，它只需要较少的样本点就能准确计算统计量。对于高斯输入，UT的近似精度可达三阶；对于非高斯输入，至少可达二阶，三阶及更高阶矩的精度由 ( \alpha ) 和 ( \beta ) 的选择决定。

6.2 无迹卡尔曼滤波（UKF）算法

UKF是UT在递归估计中的直接扩展。将状态随机变量重新定义为原始状态和噪声变量的串联 ( x_a^k = [x_k^T, v_k^T, n_k^T]^T )，应用UT的西格玛点选择方案计算相应的西格玛矩阵 ( \mathcal{X} a^k )。UKF的方程如下表所示：
| 步骤 | 方程 |
| ---- | ---- |
| 初始化 | ( \hat{x}_0 = E[x_0] )
( P_0 = E[(x_0 - \hat{x}_0)(x_0 - \hat{x}_0)^T] )
( \hat{x}_a^0 = E[x_a] = [\hat{x}_0^T, 0, 0]^T )
( P_a^0 = E[(x_a^0 - \hat{x}_a^0)(x_a^0 - \hat{x}_a^0)^T] = \begin{bmatrix} P_0 & 0 & 0 \ 0 & R_v & 0 \ 0 & 0 & R_n \end{bmatrix} ) |
| 计算西格玛点 | ( \mathcal{X}_a^{k - 1} = [\hat{x}_a^{k - 1}, \hat{x}_a^{k - 1} + \gamma \sqrt{P_a^{k - 1}}, \hat{x}_a^{k - 1} - \gamma \sqrt{P_a^{k - 1}}] ) |
| 时间更新 | ( \mathcal{X}_x^{k|k - 1} = F(\mathcal{X}_x^{k - 1}, u {k - 1}, (\mathcal{X} v^{k - 1})) )
( \hat{x}_k^- = \sum {i = 0}^{2L} W^{(m)} i X_x^{i,k|k - 1} )
( P_k^- = \sum {i = 0}^{2L} W^{(c)} i (X_x^{i,k|k - 1} - \hat{x}_k^-) (X_x^{i,k|k - 1} - \hat{x}_k^-)^T )
( \mathcal{Y}^{k|k - 1} = H(\mathcal{X}_x^{k|k - 1}, \mathcal{X}_n^{k - 1}) )
( \hat{y}_k^- = \sum {i = 0}^{2L} W^{(m)} i Y {i,k|k - 1} ) |
| 测量更新 | ( P_{\tilde{y} k \tilde{y}_k} = \sum {i = 0}^{2L} W^{(c)} i (Y {i,k|k - 1} - \hat{y} k^-) (Y {i,k|k - 1} - \hat{y} k^-)^T )
( P {x_k y_k} = \sum_{i = 0}^{2L} W^{(c)} i (X {i,k|k - 1} - \hat{x} k^-) (Y {i,k|k - 1} - \hat{y} k^-)^T )
( K_k = P {x_k y_k} P_{\tilde{y} k \tilde{y}_k}^{-1} )
( \hat{x}_k = \hat{x}_k^- + K_k (y_k - \hat{y}_k^-) )
( P_k = P_k^- - K_k P {\tilde{y}_k \tilde{y}_k} K_k^T ) |

其中 ( \gamma = \sqrt{L + \lambda} )， ( \lambda ) 是复合缩放参数， ( L ) 是增强状态的维度， ( R_v ) 是过程噪声协方差， ( R_n ) 是测量噪声协方差， ( W_i ) 如UT中所定义。

6.3 实现变体

在过程和测量噪声为纯加性的特殊情况下，可以降低UKF的计算复杂度。此时，系统状态无需与噪声随机变量进行增强，从而减少了西格玛点的维度和数量。噪声源的协方差通过简单的加法过程合并到状态协方差中。具体实现如下表所示：
| 步骤 | 方程 |
| ---- | ---- |
| 初始化 | ( \hat{x} 0 = E[x_0] )
( P_0 = E[(x_0 - \hat{x}_0)(x_0 - \hat{x}_0)^T] ) |
| 计算西格玛点 | ( \mathcal{X} {k - 1} = [\hat{x} {k - 1}, \hat{x} {k - 1} + \gamma \sqrt{P_{k - 1}}, \hat{x} {k - 1} - \gamma \sqrt{P {k - 1}}] ) |
| 时间更新 | ( \mathcal{X} { }^{k|k - 1} = F(\mathcal{X} {k - 1}, u {k - 1}) )
( \hat{x} k^- = \sum {i = 0}^{2L} W^{(m)} i X ^{i,k|k - 1} )
( P_k^- = \sum {i = 0}^{2L} W^{(c)} i (X ^{i,k|k - 1} - \hat{x} k^-) (X ^{i,k|k - 1} - \hat{x} k^-)^T + R_v )
( \mathcal{X}^{k|k - 1} = [\mathcal{X} { }^{k|k - 1}, \mathcal{X}_{ }^{0,k|k - 1} + \gamma \sqrt{R_v}, \mathcal{X} {*}^{0,k|k - 1} - \gamma \sqrt{R_v}] )
( \mathcal{Y}^{k|k - 1} = H(\mathcal{X}^{k|k - 1}) )
( \hat{y}_k^- = \sum {i = 0}^{2L} W^{(m)} i Y {i,k|k - 1} ) |
| 测量更新 | ( P_{\tilde{y} k \tilde{y}_k} = \sum {i = 0}^{2L} W^{(c)} i (Y {i,k|k - 1} - \hat{y} k^-) (Y {i,k|k - 1} - \hat{y} k^-)^T + R_n )
( P {x_k y_k} = \sum_{i = 0}^{2L} W^{(c)} i (X {i,k|k - 1} - \hat{x} k^-) (Y {i,k|k - 1} - \hat{y} k^-)^T )
( K_k = P {x_k y_k} P_{\tilde{y} k \tilde{y}_k}^{-1} )
( \hat{x}_k = \hat{x}_k^- + K_k (y_k - \hat{y}_k^-) )
( P_k = P_k^- - K_k P {\tilde{y}_k \tilde{y}_k} K_k^T ) |

该算法的复杂度为 ( O(L^3) )，其中 ( L ) 是状态的维度，与EKF相同。最耗时的操作是形成样本先验协方差矩阵 ( P_k^- )，在某些情况下（如单变量时间序列或参数估计），复杂度可降低到 ( O(L^2) )。

通过以上介绍，我们可以看到UKF在处理非线性系统估计问题时具有明显的优势，尤其是在处理强非线性问题时，能够提供更准确的估计结果。在实际应用中，可以根据具体问题的特点选择合适的滤波方法。

非线性系统估计：扩展卡尔曼滤波与无迹卡尔曼滤波

7. 应用案例分析

为了更直观地展示EKF和UKF在不同应用场景下的性能差异，下面将通过具体案例进行分析。

7.1 状态估计案例

考虑一个简单的离散时间非线性动态系统：
- 状态转移方程：(x_{k + 1} = x_k^2 + 0.5v_k)
- 观测方程：(y_k = x_k^3 + n_k)

其中，(v_k) 和 (n_k) 分别是过程噪声和观测噪声，均服从高斯分布。

使用EKF和UKF对系统状态进行估计，对比两者的估计结果。以下是具体的操作步骤：
1. 初始化 ：设定初始状态 (x_0) 和初始协方差 (P_0)。
2. 循环迭代 ：
- EKF步骤 ：
- 时间更新：计算 ( \hat{x} k^- = F(\hat{x} {k - 1}, \bar{v}) ) 和 ( P_{x_k}^- = A_{k - 1} P_{x_{k - 1}} A_{k - 1}^T + B_k R_v B_k^T )，其中 ( A_{k - 1} ) 和 ( B_{k - 1} ) 是通过对 ( F ) 求偏导得到。
- 测量更新：计算 ( K_k = P_{x_k}^- C_k^T (C_k P_{x_k}^- C_k^T + D_k R_n D_k^T)^{-1} )，( \hat{x} k = \hat{x}_k^- + K_k [y_k - H(\hat{x}_k^-, \bar{n})] ) 和 ( P {x_k} = (I - K_k C_k) P_{x_k}^- )，其中 ( C_{k - 1} ) 和 ( D_{k - 1} ) 是通过对 ( H ) 求偏导得到。
- UKF步骤 ：
- 计算西格玛点：( \mathcal{X} a^{k - 1} = [\hat{x}_a^{k - 1}, \hat{x}_a^{k - 1} + \gamma \sqrt{P_a^{k - 1}}, \hat{x}_a^{k - 1} - \gamma \sqrt{P_a^{k - 1}}] )
- 时间更新：计算 ( \mathcal{X}_x^{k|k - 1} = F(\mathcal{X}_x^{k - 1}, u {k - 1}, (\mathcal{X} v^{k - 1})) )，( \hat{x}_k^- = \sum {i = 0}^{2L} W^{(m)} i X_x^{i,k|k - 1} )，( P_k^- = \sum {i = 0}^{2L} W^{(c)} i (X_x^{i,k|k - 1} - \hat{x}_k^-) (X_x^{i,k|k - 1} - \hat{x}_k^-)^T )，( \mathcal{Y}^{k|k - 1} = H(\mathcal{X}_x^{k|k - 1}, \mathcal{X}_n^{k - 1}) )，( \hat{y}_k^- = \sum {i = 0}^{2L} W^{(m)} i Y {i,k|k - 1} )
- 测量更新：计算 ( P_{\tilde{y} k \tilde{y}_k} = \sum {i = 0}^{2L} W^{(c)} i (Y {i,k|k - 1} - \hat{y} k^-) (Y {i,k|k - 1} - \hat{y} k^-)^T )，( P {x_k y_k} = \sum_{i = 0}^{2L} W^{(c)} i (X {i,k|k - 1} - \hat{x} k^-) (Y {i,k|k - 1} - \hat{y} k^-)^T )，( K_k = P {x_k y_k} P_{\tilde{y} k \tilde{y}_k}^{-1} )，( \hat{x}_k = \hat{x}_k^- + K_k (y_k - \hat{y}_k^-) )，( P_k = P_k^- - K_k P {\tilde{y}_k \tilde{y}_k} K_k^T )

通过多次实验，记录EKF和UKF的估计误差，绘制误差曲线。结果表明，在该非线性系统中，UKF的估计误差明显小于EKF，且收敛速度更快。

7.2 参数估计案例

考虑一个简单的非线性映射：(y_k = w_1 x_k^2 + w_2 x_k + w_3 + n_k)，其中 ( w = [w_1, w_2, w_3]^T ) 是待估计的参数。

使用EKF和UKF进行参数估计，操作步骤如下：
1. 初始化 ：设定初始参数 ( w_0 ) 和初始协方差 ( P_0 )。
2. 循环迭代 ：
- EKF步骤 ：重新定义状态空间表示 ( w_{k + 1} = w_k + r_k ) 和 ( d_k = G(x_k, w_k) + e_k )，然后按照EKF的时间更新和测量更新步骤进行计算。
- UKF步骤 ：将状态随机变量定义为 ( w )，按照UKF的步骤进行西格玛点计算、时间更新和测量更新。

实验结果显示，UKF在参数估计方面具有更高的精度和更好的稳定性，尤其是在噪声较大的情况下，UKF的优势更加明显。

8. 性能对比总结

通过上述案例分析和理论介绍，我们可以总结出EKF和UKF的性能对比如下：
| 对比项 | 扩展卡尔曼滤波（EKF） | 无迹卡尔曼滤波（UKF） |
| ---- | ---- | ---- |
| 精度 | 一阶精度，在强非线性系统中可能引入较大误差 | 二阶精度，能更准确地捕获后验均值和协方差 |
| 计算复杂度 | 需要计算雅可比矩阵，计算复杂度与UKF相当，但在某些情况下可能更高 | 不需要显式计算雅可比矩阵和海森矩阵 |
| 稳定性 | 在强非线性系统中可能出现滤波发散的情况 | 具有更好的稳定性，能有效避免滤波发散 |
| 应用范围 | 适用于弱非线性系统 | 适用于各种非线性系统，尤其是强非线性系统 |

9. 选择建议

在实际应用中，如何选择EKF和UKF是一个关键问题。以下是一些选择建议：
- 弱非线性系统 ：如果系统的非线性程度较低，EKF可以提供足够的精度，并且其实现相对简单，计算成本较低。
- 强非线性系统 ：对于强非线性系统，UKF是更好的选择。它能够更准确地处理非线性问题，提供更高的估计精度和更好的稳定性。
- 计算资源有限 ：如果计算资源有限，且系统的非线性程度不是特别高，可以考虑使用EKF。但如果对估计精度要求较高，即使计算资源有限，也可以通过优化UKF的实现来降低计算复杂度。

10. 未来发展趋势

随着科技的不断发展，非线性系统估计领域也在不断进步。未来，EKF和UKF可能会朝着以下方向发展：
- 算法优化 ：进一步优化EKF和UKF的算法，降低计算复杂度，提高估计精度。例如，研究更高效的采样方法和计算技巧。
- 多传感器融合 ：将EKF和UKF应用于多传感器融合领域，结合不同传感器的信息，提高系统的估计性能。
- 深度学习结合 ：探索EKF和UKF与深度学习的结合，利用深度学习的强大非线性建模能力，进一步提升非线性系统估计的效果。

11. 总结

本文详细介绍了非线性系统估计中的扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）。EKF是传统的递归非线性估计方法，但在强非线性系统中存在一定的局限性。UKF通过无迹变换解决了EKF的近似问题，能够更准确地处理非线性系统，具有更高的精度和更好的稳定性。

通过具体案例分析和性能对比，我们可以看到UKF在大多数情况下都优于EKF。在实际应用中，应根据系统的非线性程度、计算资源等因素选择合适的滤波方法。未来，EKF和UKF有望在算法优化、多传感器融合和深度学习结合等方面取得更大的进展。

下面是一个简单的mermaid流程图，展示了UKF的基本流程：

graph TD;
    A[初始化] --> B[计算西格玛点];
    B --> C[时间更新];
    C --> D[测量更新];
    D --> E[输出估计结果];
    E --> F{是否继续迭代};
    F -- 是 --> B;
    F -- 否 --> G[结束];

这个流程图清晰地展示了UKF的主要步骤，包括初始化、西格玛点计算、时间更新、测量更新和结果输出，以及迭代过程。

总之，在非线性系统估计中，选择合适的滤波方法对于提高系统性能至关重要。希望本文的介绍和分析能够帮助读者更好地理解EKF和UKF，并在实际应用中做出正确的选择。