15、希尔伯特空间中的无限标量矩阵

希尔伯特空间中的无限标量矩阵

1. 引言

希尔伯特空间 ( \ell^2 ) 是一个非常重要的数学结构，它在泛函分析、量子力学等领域有着广泛的应用。在 ( \ell^2 ) 空间中，无限矩阵的性质和行为显得尤为重要。无限矩阵不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也扮演着关键角色。本篇文章将探讨无限标量矩阵在希尔伯特空间 ( \ell^2 ) 中的特征和行为，特别是克罗恩定理及其算子类比。

2. 克罗恩定理

克罗恩定理是无限矩阵理论中的一个重要结果，它描述了在希尔伯特空间 ( \ell^2 ) 中无限矩阵的性质。克罗恩定理的核心内容是：一个矩阵 ( A ) 属于 ( (\ell^2, \ell^2) ) 类当且仅当下列条件成立：

• ( A ) 的每一行在 ( \ell^2 ) 中是平方可和的。
• ( A^*A ) 的每一行在 ( \ell^2 ) 中是平方可和的。
• ( \sup_n \sup_i [(A^*A)^n]_{ii}^{1/n} < \infty )。

这里 ( A^ ) 表示 ( A ) 的共轭转置。克罗恩定理的证明依赖于矩阵的行平方可和性以及矩阵乘积 ( A^ A ) 的幂的有界性。这些条件保证了矩阵 ( A ) 在 ( \ell^2 ) 空间中具有良好的性质。

2.1 矩阵行的平方可和性

矩阵行的平方可和性是指矩阵的每一行元素的平方和是有限的。具体来说，如果矩阵 ( A = (a_{ij}) ) 属于 ( (\ell^2, \ell^2) )，那么对于每一行 ( i )，必须满