38、模糊控制方法的稳定性分析与仿真验证

模糊控制方法的稳定性分析与仿真验证

1. 离散时间下的稳定性分析

在离散时间的多模型模糊控制（MLFC）设计中，$e_1(k)$ 代表误差 $e(k)$，$e_2(k)$ 代表误差的变化 $\Delta e(k)$，$u_1(k)$ 是控制信号的变化 $\Delta u(k)$。MLFC 系统可定义为：
[
\begin{cases}
e_1(k) = e_1(k - 1) + e_2(k) \
u_1(k) = F_1(e_1(k), e_2(k)) + F_2(e_1(k), e_2(k))
\end{cases}
]
由此，模糊控制器可视为一个单输入单输出（SISO）的非线性系统，其中 $e_2(k)$ 为输入，$u_1(k)$ 为输出，$e_1(k)$ 为状态。

在离散时间域中，MLFC $C_1$ 以误差变化 $\Delta e(k)$ 为输入，控制动作变化 $\Delta u(k)$ 为输出时，具有输入 - 输出无源性。通过定理推导可知，模糊控制器 $C$ 也是无源的。将闭环系统进行变换，指定 $e_C$ 为控制器 $H_1$，其他部分为增广植物 $H_2$，构成如图所示的闭环控制系统。

离散时间域中的松弛无源性条件为：
[
V[x(k + 1)] - V[x(k)] \leq \sum_{i} u(i)^T y(k), \forall x(k), \forall u(k), \forall k
]
与之前定义的无源性条件相比，该条件宽松很多。只要植物满足此不等式，闭环模糊控制系统在离散域中也是李雅普诺夫稳定的。

2. 仿真示例