35、非线性控制系统稳定性分析方法解析

非线性控制系统稳定性分析方法解析

1. 系统稳定性基础概念

1.1 一致渐近稳定性

平衡状态 (x = 0) 若满足一致稳定，且存在与 (t_0) 无关的 (d > 0)，使得当 (|x(t_0)| < d) 时，系统轨迹 (x(t)) 随着 (t \to \infty) 一致收敛于 0，则称该平衡状态是一致渐近稳定的。若吸引球 (B_d) 定义为整个状态空间，那么平衡状态 (x = 0) 也是一致渐近稳定的。

1.2 李雅普诺夫直接法

对于非线性非自治系统，若标量时变函数 (V(x, t)) 关于其自变量连续可微，则其沿系统轨迹的导数为：
[
\dot{V}(x, t) = \frac{dV}{dt} = \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial x} \dot{x} = \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial x} \cdot f(x, t)
]
以下是几个相关定义：
- 局部正定函数 ：若时变连续函数 (V(x, t)) 满足 (V(0, t) = 0)，且存在时不变正定函数 (V_0(x))，使得 (V(x, t) \geq V_0(x), \forall t \geq t_0)，则称 (V(x, t)) 是局部正定的。
- 局部半正定函数 ：若 (V(x, t)) 支配一个时不变半正定函数，则称其为局部半正定函数。
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