算法：动态规划解 0-1 背包问题

动态规划是用来解决“最优”问题，通过找到最优的子策略来解决这个问题

解决方法

    递归：从结果出发，指导终止条件

    递推：按顺序进行，但可以保存阶段状态

与分治法的区别：

（分治法的步骤：

   分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

    解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题

    合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

    例子：汉诺塔

）

在递归过程中，动态规划就是分治法中多了了比较

例子：

0-1背包问题的实现

=============================== 递推 ===================================

#define OBJ_COUNT 4

#define TOTAL_WEIGHT 4

int main() {

    cout << " 0,1 bage" << endl; // prints !!!Hello World!!!

    // 1st dimension,  obj index

    // 2nd dimension, 1:weight; 2: value

    int objs[OBJ_COUNT][2] = { {1,2}, {2,4} , {3,6}, {1,3} ,};

    int v[OBJ_COUNT][TOTAL_WEIGHT+1];

    for(int i=0; i < OBJ_COUNT; i++)

        for (int j=1; j<= TOTAL_WEIGHT; j++ )

            v[i][j] = 0;

    v[0][objs[0][0]] = objs[0][1]; // input the 1st obj

    for ( int i=1; i < OBJ_COUNT; i++) {

        for( int j=1; j<= TOTAL_WEIGHT; j++ ) {

            //cout << "objs[i][0]:" << objs[i][0] << " j:" << j <<endl;

            if ( objs[i][0] > j)

                v[i][j] = v[i-1][j];  //no update, because weight too large

            else if ( objs[i][0] == j)

                v[i][j] = v[i-1][j] < objs[i][1]? objs[i][1]: v[i-1][j];  // 看同权值的总重为 j 的是否权值较小, 取最大权值

            else {  

                int correspondIndex = j - objs[i][0]; //取去掉当前 obj 的总量,

                int newWeight = v[i-1][correspondIndex] + objs[i][1];  // 重新计算

                if ( newWeight >  v[i-1][j])  //取最大权值

                    v[i][j] = newWeight;

            }

        }

    }

    cout << "w: ";

    for (int j=1; j<= TOTAL_WEIGHT; j++ )

        cout << j << "  ";

    cout << endl;

    for ( int i=0; i < OBJ_COUNT; i++){

        cout << i<<": ";

        for (int j=1; j<= TOTAL_WEIGHT; j++ )

            cout << v[i][j] << "  ";

        cout << endl;

    }

    return 0;

}

=============================== 递归 ===================================

#define OBJ_COUNT 4

#define TOTAL_WEIGHT 4

int objs[OBJ_COUNT+1][2] = { {0,0}, {1,2}, {2,4} , {3,6}, {1,3} ,};

int F(int n, int v) {

    if ( n==0 )

        return 0;

    else {

        if ( objs[n][0] > v ) {

            return F( n-1, v);

        }

        else  {

            int a = F( n-1, v);

            int b = F( n-1, v-objs[n][0] ) + objs[n][1];

            return a>b? a: b;

        }

    }

}

int main() {

    cout << " 0,1 bage" << endl;

    cout << F(OBJ_COUNT,TOTAL_WEIGHT);

}