[线性DP]最长不下降子序列(LIS)

题目：

在线性动态规划中状态是一维的，第i个元素的状态与前i-1个元素的状态有关，前i-1个状态组成一个决策序列，它是其他类动态规划的基础。典型的应用有LIS(最长不下降子序列)，LCS(最长公共子序列)以及它们的应用。

例1 求最长不下降子序列。

由n个不相同的整数组成的数列，记为:a(1),a(2),…,a(n)且a(i)≠a(j)(i≠j),例如，3,18,7,14,10,12,23,41,16,24.若存在i₁<

i₂<i₃<…<i_e且有a(i₁)<a(i₂)<…<a(i_e),则称其为长度为e的不下降子序列。如上例中3,18,23,24就是一个长度为4的不下降子序列，同时也有3,7,10,12,16,24长度为6的不下降子序列。程序要求，当原数列给出之后，求出最长的不下降子序列的数据个数。

输入文件：

第一行为N(1≤N≤5000),第二行为N个整数，之间用空格隔开。

输出文件：

最长的不下降子序列的数据个数。

输入样例：

10

3 18 7 14 10 12 23 41 16 24

输出样例：

6

思路：

DP入门题，状态转移方程：f[i] = max{ f[j] } + 1 (1 <= j < i);

状态转移方程f[i] = max{ f[j] }+1 要求a[j] < a[i], 那a[j] > a[i]怎么办？

我一开始有这样的疑问，其实是对 f[i] 有误解：

f[i] 不代表到 i 位置为止的最长不下降子序列的个数

f[i] 代表以 a[i] 为结尾的最长不下降子序列的个数，基于以 a[i] 为结尾这个条件，自然 a[j] < [i]，最后只需要遍历一遍 f[i] 求其最大值就好

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
/*
状态转移方程f[i] = max{f[j]} +1 (1 <= j < i);
f[i] 代表以 a[i] 结尾的最长不下降子序列
最后只需要遍历一遍f[0~n-1]最大的是谁就好
*/

int f[20];
int maxn;
int n;
void LIS_dp(int *a)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        f[i] = 1;
        for(int j = 0; j < i; j++)
        {
            if(a[i] > a[j] && f[j]+1 > f[i])
                f[i] = f[j] + 1;
        }
    }
}
int main()
{
    int a[10];
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    LIS_dp(a);
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        if(f[i] > t)
            t = f[i];
    printf("%d", t);
    return 0;
}
/*
10
3 18 7 14 10 12 23 41 16 24
*/

反思：

关注 f[i] 或者 f[i][j] 等所代表的确切意思