并查集+背包dp(经商)

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题目描述:

 

 首先呢,小d对人脉关系的获取就是一个并查集,因为并查集的原则就是:朋友的朋友就是我的朋友,亲戚的亲戚就是我的亲戚,所以这个是完美符合并查集的特点的,所以第一步就是将所有能被小d通过渠道交往的人划归到一个子树下,然后不难发现,剩下的就只是一个简单的背包dp了,打模板就好了。

上代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll t,n,m,c,k,l;
int fa[10010],dp[10010]={0};
struct hj{
	int a,b;
}mas[10010];
int find(int d){
	return fa[d]==d?d:fa[d]=find(fa[d]);
}
void hebin(int z,int x){
	//fa[z]=find(fa[x]);
	fa[find(z)]=find(x);
}
int main()
{
	cin>>t;
	while(t--){
		memset(mas,0,sizeof(mas));
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		memset(fa,0,sizeof(fa));
		cin>>n>>m>>c;
		for(int i=2;i<=n;++i){
			cin>>mas[i].a>>mas[i].b;
			fa[i]=i;
		} 
		fa[1]=1;
		for(int i=1;i<=m;++i){
			cin>>k>>l;
			hebin(k,l);
		}
		for(int i=2;i<=n;++i){
			if(find(i)==find(1)){
			for(int j=c;j>=mas[i].a;--j){
			     
					dp[j]=max(dp[j],dp[j-mas[i].a]+mas[i].b);
					
				}
			}
		}
		cout<<dp[c]<<endl;
	}
	return 0;
}

几个小细节:

1.因为是多组样例,每次要把相关数组清0;

2.打字要仔细啊(哭),比如==就不要写成=还死活看不出来了

别的也没什么好讲的,一道水题,虽然我还是wa了一发。

### 背包问题动态规划算法详解 背包问题(Knapsack Problem)是经典的组合优化问题,尤其在动态规划领域中占据重要地位。其中,0-1背包问题是该类问题的基础形式之一。 #### 问题描述 给定 $ n $ 种物品一个容量为 $ C $ 的背包,每种物品仅有一件,且具有固定的重量 $ w_i $ 价值 $ v_i $。目标是在不超过背包容量的前提下,选择物品使得总价值最大。物品不可分割,即每种物品只能选择装入或不装入[^2]。 #### 动态规划解法的核心思想 动态规划通过构建一个二维数组 $ dp[i][w] $ 来表示前 $ i $ 个物品在总重量不超过 $ w $ 的情况下所能获得的最大价值。状态转移方程如下: $$ dp[i][w] = \max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - w_i] + v_i) $$ 其中,$ dp[i-1][w] $ 表示不选第 $ i $ 个物品时的最大价值,而 $ dp[i-1][w - w_i] + v_i $ 表示选第 $ i $ 个物品时的最大价值。 #### 空间优化 由于每次计算只依赖于上一行的数据,可以将二维数组压缩为一维数组以节省空间。此时,状态转移方程变为: $$ dp[w] = \max(dp[w], dp[w - w_i] + v_i) $$ 需要注意的是,在更新一维数组时应从后往前遍历,避免覆盖当前轮次所需的数据。 #### Python代码实现 以下是一个基于上述逻辑的Python代码示例: ```python def knapsack(weights, values, capacity): n = len(weights) dp = [0] * (capacity + 1) for i in range(n): # 从后往前更新dp数组 for w in range(capacity, weights[i] - 1, -1): dp[w] = max(dp[w], dp[w - weights[i]] + values[i]) return dp[capacity] # 示例数据 weights = [2, 3, 6, 7] values = [1, 4, 5, 6] capacity = 8 # 计算并输出最大价值 print("最大总价值为:", knapsack(weights, values, capacity)) ``` #### 复杂度分析 - **时间复杂度**:$ O(n \cdot C) $,其中 $ n $ 是物品数量,$ C $ 是背包容量。 - **空间复杂度**:若使用一维数组优化,则为 $ O(C) $;否则为 $ O(n \cdot C) $。 #### 应用场景 背包问题广泛应用于资源分配、投资决策等领域。例如,在有限预算下如何选择最优的投资组合,或者在物流运输中如何最大化装载价值。
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