相轨迹(phase portrait)是用来分析微分方程解的一种方法,up主将其用于动态系统的分析,可参考下面网站得到绘制工具。
http://comp.uark.edu/~aeb019/pplane.html (似乎已经失效 )试试 下面的
http://mathlets.org/mathlets/linear-phase-portraits-matrix-entry/
http://www.bluffton.edu/homepages/facstaff/nesterd/java/slopefields.html
相轨迹
我们先从一个一维的简单例子看起,有这样一个方程x˙=f(x)\dot{x} = f(x)x˙=f(x),它的图像是这样的,横轴是xxx,纵轴是x˙\dot{x}x˙
令x˙=0\dot{x} = 0x˙=0,我们可以得到解x=x01,x=x02x = x_{01}, x=x_{02}x=x01,x=x02。此时的导数为0,说明此时的xxx是一个常数。我们称此时的x01,x02x_{01},x_{02}x01,x02是平衡点,也叫fixed point。也就是说,如果你的起始点在x01x_{01}x01或者x02x_{02}x02时,你的系统将不会有任何变化,它会保持在这个点。
我们可以通过判断x˙\dot{x}x˙的符号判断xxx的变化趋势。在x01x_{01}x01的左边,x˙>0\dot{x}>0x˙>0,在x01x_{01}x01的右边,x˙<0\dot{x}<0x˙<0,可以判断出x01x_{01}x01是一个稳定点。在x02x_{02}x02的左边,x˙<0\dot{x}<0x˙<0,在x02x_{02}x02的右边,x˙>0\dot{x}>0x˙>0,可以判断出x02x_{02}x02是一个不稳定点。见下图
举例
我们再看一个例子
x˙=x−cosx\dot{x} = x-cosxx˙=x−cosx
它的平衡点x˙=0\dot{x} = 0x˙=0也就是x−cosx=0x-cosx=0x−cosx=0,如果画图表示的话,在x0x_0x0的左边,xxx要比cosxcosxcosx要小,也就是x˙<0\dot{x}<0x˙<0,在x0x_0x0的右边,xxx要比cosxcosxcosx要大,也就是x˙>0\dot{x}>0x˙>0,可以看出x0x_0x0是一个不稳定的平衡点。
总结
中间博主用相轨迹这种方法分析了两个状态变量下特征根与相轨迹的变化趋势,如下图所示。
系统要想稳定,特征根的实部必须小于0,虚部会带来震荡。