Noip2004]合并果子

本文详细解析了NOIP2004年的一道经典算法题——合并果子问题,通过将其转化为Huffman树问题,介绍了如何使用小根堆实现最优合并策略,以最小化合并过程中的总体力消耗。

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           [Noip2004]合并果子   (堆的应用)
     我是一个蒟蒻,这也是我第一次写博客,若有讲的不对的地方,请各位神犇指点一下QAQ,话不多说,下面进入正题:
     题目链接:入门OJ  https://begin.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?cid=1292&pid=23
     Description

在一个果园里,多多已经将所有的果子打了下来,而且按果子的不同种类分成了不同的堆。
多多决定把所有的果子合成一堆。
每一次合并,多多可以把两堆果子合并到一起,消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出
所有的果子经过n-1次合并之后,就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。因为还要花大力气把这些果子搬回家,所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1并且已知果子的种类数和每种果子的数目,你的任务是设计出合并的次序方案,使多多耗费的体力最少,并输出这个最小的体力耗费值。
例如有3种果子,数目依次为1,2,9。可以先将 1、2堆合并,新堆数目为3,耗费体力为3。接着,将新堆与原先的第三堆合并又得到新的堆,数目为12,耗费体力为 12。所以多多总共耗费体力=3+12=15。可以证明15为最小的体力耗费值。
Input
包括两行,第一行是一个整数n(1 <= n <= 10000),表示果子的种类数。第二行包含n个整数,用空格分隔第i个整数ai(1 <= ai <= 20000)是第i种果子的数目。
Output
包括一行,这一行只包含一个整数,也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于2^31。
Sample Input
3
1 2 9
Sample Output
15

问题分析
1、算法分析
将这个问题换一个角度描述:给定n个叶结点,每个结点有一个权值w[i],将它们中两个两个合并为树,假设每个结点从根到它的距离是d[i],使得最终∑(wi*di)最小。于是,这个问题就变为了经典的Huffman树问题。Huffman树的构造方法如下:
(1)从森林里取两个权和最小的子树;
(2)将它们的权和相加,得到新的子树,并且把原子树删除,将新子树插入到森林中;
(3)重复(1)~(2),直到整个森林里只有一棵树。
2、操作实现
整个程序开始时通过n次put操作建立一个小根堆,然后不断重复如下操作:两次get操作取出两个最小数累加起来,并且形成一个新的结点,再插入到堆中。整道题目的复杂度是nlog2 n。

代码实现如下:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > h;  //优先队列
void work() {
	int i,x,y,ans=0;
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++) { //建堆
		cin>>x;
		h.push(x);
	}
	for(int i=1; i<n; i++) { //取,统计,插入
		x=h.top();
		h.pop();
		y=h.top();
		h.pop();
		ans+=x+y;
		h.push(x+y);
	}
	cout<<ans<<endl;
}
int main() {
	work();
	return 0;
}

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