图形流水线中的齐次坐标裁剪-优快云博客

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本文探讨了图形流水线中为何在透视投影后、透视除法前进行裁剪，以及如何利用齐次坐标进行裁剪。裁剪发生在相机坐标系到屏幕空间变换的过程中，以保持线性插值的准确性。内容包括裁剪的必要性、齐次坐标的优势以及裁剪步骤的详细解释。

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图形流水线中齐次空间的裁剪（1）

1. 本文将分为下面三部分

引入：为什么不在投影除法后裁剪？
为什么能用齐次坐标进行裁剪
使用齐次坐标裁剪的步骤

2. 引入：为什么不在投影除法后裁剪

在齐次空间对顶点和线裁剪是如今图形学管线进行裁剪的标准做法。一个世界坐标系下点经过观察变换后会映射到屏幕空间，在这其中会经过如下的矩阵变换：世界坐标系到相机坐标系的变化，相机坐标系下的透视投影变换到规范化空间，然后从规范化空间变换到屏幕空间。其中，裁剪就发生在透视投影变化之后，但在透视除法之前。先简单解释透视投影和透视除法：
透视投影指经过透视变化矩阵之后的得到齐次坐标；
透视除法指将透视投影得到的齐次坐标转化为三维坐标，即除以齐次分量，经过透视除法的点才是在规范化裁剪立方体中的点。
为什么不在投影除法后裁剪呢？为了简单起见，取投影参考点是观察坐标原点，近裁剪平面是观察平面的透视变化矩阵：

M = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ c o t ( θ 2 ) a s p e c t 000 0 c o t (θ 2) 00 00 z n e a r + z f a r z n e a r - z f a r - 1 00 - 2 z n e a r z f a r z n e a r - z f a r 0 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$M=\begin{bmatrix} cot\left(\frac\theta2\right)\over aspect & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cot\left(\theta\over 2\right) & 0 & 0\\ 0 & 0 & {z_{near}+z_{far}}\over {z_{near}-z_{far}}& -{2z_{near}z_{far}}\over z_{near}-z_{far}\\ 0& 0 & -1 &0 \end{bmatrix}$

其中 $\theta$ 是相机的视角， $aspect$ 是近裁剪平面的纵横比， $z_{near}$ 和 $z_{far}$ 分别是近裁剪平面和远裁剪平面。
对于相机坐标系下的任意一点 $P\left(x_0,y_0,z_0,1\right)$ ，经过该矩阵变化后得到 $P_1=MP_0$ ，P1