POJ 2764 数根

数根是指通过反复将一个数的各位数字相加,直到结果为一位数的过程。例如,24的数根是6,39的数根是3。这个过程可以用于解决数学问题或编程挑战。

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描述

数根可以通过把一个数的各个位上的数字加起来得到。如果得到的数是一位数,那么这个数就是数根。如果结果是两位数或者包括更多位的数字,那么再把这些数字加起来。如此进行下去,直到得到是一位数为止。

比如,对于24来说,把2和4相加得到6,由于6是一位数,因此6是24的数根。再比如39,把3和9加起来得到12,由于12不是一位数,因此还得把1和2加起来,最后得到3,这是一个一位数,因此3是39的数根。

输入
一个正整数(小于101000)。
输出
一个数字,即输入数字的数根。
样例输入
24
样例输出
6
来源
翻译自 Greater New York 2000 的试题
思路

暴力的话绝对会超时吧。。(我没尝试我不知道)。。
题目是不断的每一位上的数字求和,直到变为1位数,即大于等于0小于10. 假设数abc=100∗a+10∗b+c=a+b+c+99∗a+9∗babc = 100 * a + 10 * b + c = a + b + c + 99 * a + 9 * babc=100a+10b+c=a+b+c+99a+9b,

  • a+b+c&lt;10a + b + c &lt; 10a+b+c<10,数根 = a+b+c=(abc−1)%9+1a + b + c = (abc - 1 ) \% 9 + 1a+b+c=(abc1)%9+1 (减一加一是为了处理a+b+c = 9的情况)
  • a+b+c&gt;=10a + b + c &gt;= 10a+b+c>=10:
  • a+b+ca + b + ca+b+c 表示为 dededede=10∗d+e=d+e+9∗dde = 10 * d + e = d + e + 9 * dde=10d+e=d+e+9d,则d+e=de−9∗d=(a+b+c−1)%9+1=(abc−1)%9+1d + e = de - 9 * d = (a + b + c - 1) \% 9 + 1 = (abc - 1) \% 9 + 1d+e=de9d=(a+b+c1)%9+1=(abc1)%9+1

可推广至任意位数。


九余数定理

说的是:如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除,那么这个数能被9整除;如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几,那么这个数被9除的余数也一定是几。
记数根为drdrdr,一个数可以表示为
x=∑i=0n(ai∗10i)x = \sum_{i = 0}^n(a_i * 10 ^ i) x=i=0n(ai10i)
因为 10i%9=(1+9999...(i−1个))%9=110^i \% 9 = (1 + 9999...(i - 1个) ) \% 9 = 110i%9=(1+9999...(i1))%9=1,所以 x%9=(∑i=0nai)%9=f(x)%9x \% 9 = (\sum_{i = 0}^na_i) \% 9 = f(x) \% 9x%9=(i=0nai)%9=f(x)%9,其中f(x)=∑i=0naif(x) = \sum_{i = 0}^na_if(x)=i=0nai.
f(x)%9=f(f(x))%9...=dr%9f(x) \% 9 = f(f(x) )\% 9... = dr \% 9f(x)%9=f(f(x))%9...=dr%9
dr∈[0,9],f(x)∈[0,8]dr \in [0,9],f(x) \in [0,8]dr[0,9],f(x)[0,8],只要处理f(x)%9==0f(x) \% 9 == 0f(x)%9==0的情况就好了,同上采用减一加一的办法。
dr=(f(x)−1)%9+1=(sum−1)%9+1dr = (f(x) - 1) \% 9 + 1 = (sum - 1 ) \% 9 + 1dr=(f(x)1)%9+1=(sum1)%9+1


AC代码如下:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include<cstring>
using namespace std;

int main()
{
	char a[1010];
	while (gets(a) && a[0] != 0)
	{
		int ans = 0;
		for (int i = 0; i < strlen(a); ++i) {
			ans += a[i] - '0';
		}
	ans = (ans - 1) % 9 + 1;
	printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}
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