POJ 2764 数根

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描述

数根可以通过把一个数的各个位上的数字加起来得到。如果得到的数是一位数，那么这个数就是数根。如果结果是两位数或者包括更多位的数字，那么再把这些数字加起来。如此进行下去，直到得到是一位数为止。

比如，对于24来说，把2和4相加得到6，由于6是一位数，因此6是24的数根。再比如39，把3和9加起来得到12，由于12不是一位数，因此还得把1和2加起来，最后得到3，这是一个一位数，因此3是39的数根。

输入

一个正整数(小于10¹⁰⁰⁰)。

输出

一个数字，即输入数字的数根。

样例输入

24

样例输出

6

来源

翻译自 Greater New York 2000 的试题

思路

暴力的话绝对会超时吧。。（我没尝试我不知道）。。
题目是不断的每一位上的数字求和，直到变为1位数，即大于等于0小于10. 假设数$abc=100\ast a+10\ast b+c=a+b+c+99\ast a+9\ast b$,

• 若 $a+b+c<10$,数根 = $$a+b+c=(abc-1)\%9+1$$ (减一加一是为了处理a+b+c = 9的情况）
• 若$a+b+c>=10$:
• 记 $a+b+c$ 表示为 $de$，$de=10\ast d+e=d+e+9\ast d$，则$$d+e=de-9\ast d=(a+b+c-1)\%9+1=(abc-1)\%9+1$$

可推广至任意位数。

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九余数定理

说的是：如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。
记数根为$dr$,一个数可以表示为
$$x=\sum _{i=0}^n(a_i\ast 10^i)$$
因为 $10^i\%9=(1+9999...(i-1个))\%9=1$，所以 $x\%9=({\sum }_{i=0}^n{a}_i)\%9=f(x)\%9$,其中$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i$.
则$$f(x)\%9=f(f(x))\%9...=dr\%9$$
而 $dr\in [0,9],f(x)\in [0,8]$,只要处理$f(x)\%9==0$的情况就好了，同上采用减一加一的办法。
$$dr=(f(x)-1)\%9+1=(sum-1)\%9+1$$

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AC代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include<cstring>
using namespace std;

int main()
{
	char a[1010];
	while (gets(a) && a[0] != 0)
	{
		int ans = 0;
		for (int i = 0; i < strlen(a); ++i) {
			ans += a[i] - '0';
		}
	ans = (ans - 1) % 9 + 1;
	printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}