线性代数学习笔记二：可逆矩阵inverse matrix

逆矩阵（方阵）

如果存在使得，则A是可逆的、非奇异的，且使得=。

 

逆矩阵的概念类似于数学中的导数，5*(1/5)=1，，矩阵A的“倒数”是它的逆矩阵。

 

逆矩阵产生的原因：

用来实现矩阵的除法。比如有矩阵X，A，B，其中X*A = B，我们要求X矩阵的值。本能来说，我们只需要将B/A就可以得到X矩阵了。但是对于矩阵来说，不存在直接相除的概念。我们需要借助逆矩阵，间接实现矩阵的除法。具体的做法是等式两边在相同位置同时乘以矩阵A的逆矩阵，如下所示，X*A*（A的逆矩阵）= B*（A的逆矩阵）。由于A*（A的逆矩阵） = I，即单位矩阵，任何矩阵乘以单位矩阵的结果都是其本身。所以，我们可以得到X =  B*（A的逆矩阵）

 

一个具体的例子

链接为https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-inverse.html。假设一帮孩子和家长出去旅游，去程坐的是bus，小孩票价为3元，家长票价为3.2元；回程坐的是Train，小孩票价为3.5元，家长票价为3.6元。问题是分别求小孩和家长的人数。我们就可以用下列矩阵求之。

可逆矩阵的求法——待定系数法：

A可逆的性质：
1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。 　
2 可逆矩阵一定是方阵。 　
3 如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。
4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。 
6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。 
7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

A矩阵不可逆 
1 |A| = 0
2 A的列(行)向量组线性相关
3 R(A)<n
4 AX=0 有非零解
5 A有特征值0.
6 A不能表示成初等矩阵的乘积
7 A的等价标准形不是单位矩阵
 

Reference link: 

1.逆矩阵(inverse matrix)的概念及其意义 https://blog.youkuaiyun.com/jacke121/article/details/82593393 

2.3阶以内的矩阵求逆矩阵的3种手算方法  https://jingyan.baidu.com/article/1709ad8095e1924634c4f03a.html 

3.理解矩阵（三）https://blog.youkuaiyun.com/myan/article/details/1865397