组合数学零碎知识点整理（待更）

1，n个元素选r个的全排列P(n,r)=n!/(n-r)!;

2，n元素集合的循环r排列的数目是P(n,r)/r=(n!)/(r*(n-r)!);

3，设S是多重集合，它有k种不同类型的对象，且每种类型的有限重复数分别为n1,n2,n3…nk。设S的大小为n=n1+n2+…nk。则S的排列数等于n!/(n1!n2!...nk!)

设S有k种类型对象的多重集合，每种元素均具有无限的重复数。那么S的r组合的个数等于C(r+k-1,r)=C(r+k-1,k-1)

证：

        S集合相当于S={x1*a1,x2*a2,….xk*ak}，这样问题相当于x1+x2+…xk=r整数解的个数，相当于隔板法，长度为r+k-1的0和1的序列个数，在这些序列中有r个1和k-1个0。

4，Ramsey定理：在6个（或更多）人，或者有3个人他们两两互相认识，或者有3个人，他们中两两彼此不认识。

5，斯特林公式：n! ≈sqrt(2*pi*n)(n/e)^n

6，帕斯卡公式：C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1);

7，C(n,r)=C(n,n-r);

8，C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…C(n,n)=2^n;

9，(x+y)^n=C(n,0)*x^n+C(n,1)*x^(n-1)*y+…C(n,n-1)x*y^(n-1)+C(n,n)*y^n

10，C(n,0)+C(n,2)+…=C(n,1)+C(n,3)+…=2^(n-1)

11，1C(n,1)+2C(n,2)+…nC(n,n)=n*2^(n-1)   (n>=1)

12，C(2n,n)=C(n,0)^2+C(n,1)^2+…C(n,n)^2；

13，排列组合 "n个球放入m个盒子m"问题请看转载：https://blog.youkuaiyun.com/snayf/article/details/81988319

14，(x1+x2+...xt)^n=∑C(n,n1*n2...nt)(x1^n1)...(xt^nt)

15，容斥原理 :Four-tuples 山东省第九届省赛 F：https://blog.youkuaiyun.com/snayf/article/details/80420415

16，错排公式：D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

                          D(n)=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...(-1)^n(1/n!))

17，卡特兰数：

公式一：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

公式二：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)

公式三：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

公式四：h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

特殊公式：ans=C(n+m,n)-C(n+m,n+1)//卡特兰数公式，n代表0，m代表1，ans求满足任何时间都1个数大于等于0

题目：2018年长沙理工大学第十三届程序设计竞赛（J杯子）https://blog.youkuaiyun.com/snayf/article/details/79944240#comments

//来自：https://blog.youkuaiyun.com/haut_ykc/article/details/79426135//

题解：进栈出栈问题是组合数学课程中所讲的经典卡特兰数问题之一，其余的还有：

（1）n个左括号，m个右括号的合法组合
（2）n个节点构成的二叉树，共有多少种情形？
（3）买票找零（一开始柜台没零钱）
（4）n*n棋盘从左下角走到右上角而不穿过主对角线的走法
（5）求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数？
（6）矩阵连乘的括号化
（7）在圆上选择2n个点，将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？
（8）一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列

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18，母函数+FFT+NTT（自己看吧）

19，置换群

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20，莫比乌斯：（待更）