【离散数学】计数/排列组合

离散数学第三篇，讨论基本的计数技术——排列组合及其推广。组合数学是离散数学的重要组成部分，这里比较简略，待到有时间详细学习组合数学后再讨论一些复杂一点的问题。那何为组合数学呢？组合数学（Combinatorics）是研究一定条件的组态的存在、计数以及构造的科学。直白说就是研究物体如何安排的科学。这里的组合数学是狭义的组合数学，广义的组合数学就是离散数学。因计算机科学的核心就是使用算法研究离散数据，所以组合数学在算法科学中具有重要地位。本文主要内容：基本计数原则、鸽巢原理、排列组合及其推广、二项式定理与恒等式以及生成排列组合的算法。

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基本计数原则

乘法原则

如果一个任务被分解为相互独立的两个步骤，完成第一个步骤有 $n_1$ 种方法，第二个步骤有 $n_2$ 种方法，则完成整个过程方法数为$n_1\cdot n_2$。推广到多个步骤就是$n_1\cdot n_2\cdot \dots \cdot n_k$，共k个步骤，$n_i$是第$i$个步骤的方法数。

用集合语言描述如下：$|A_1\times A_2\times \dots \times A_k|= |A_1|\cdot |A_2|\cdot\dots \cdot |A_k|$

求和原则

如果有两种独立的途径完成一项任务，第一种有 $n_1$ 种方法，第二种有 $n_2$ 种方法，则完成该任务共有$n_1+n_2$种方法。推广到多种途径就是 $n_1+ n_2+ \dots + n_k$ 种方法。

也称为加法原则。用集合语言描述：$|A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_k|= |A_1|+ |A_2|+\dots + |A_k|$，其中$A_i\cap A_j=\varnothing$，对所有 $i$，$j$.

减法原则

如果一个任务可以有两种途径完成，第一种有 $n_1$ 种方法，第二种有 $n_2$ 种方法，两种途径中有 $n_3$ 种方法是相同的。则完成该任务共有 $n_1+n_2-n_3$ 种方法。

集合语言描述：即是两个集合的容斥原理 $|A_1\cup A_2| = |A_1|+|A_2|-|A_1\cap A_2|$

除法原则

如果一个任务可以由 $n$ 种方法完成，而在这 $n$ 中方法中每一种完成的方式在 $n$ 种中正好有 $d$ 种与之对应（即在该问题的研究中可以看做一种方法），则完成该任务的方法数为 $n/d$。

这几个原则乃是计数最基础的原则，很好理解。

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鸽巢原理

鸽巢原理的通俗描述：如果鸽子比笼子多，那么一定有一个笼子里面至少有两只鸽子。

鸽巢原理

描述：把 $k+1$ 个甚至更多物体放入 $k$ 个盒子，那么至少有一个盒子里面有两只甚至更多个物体。

推论：从 $k+1$ 个甚至更多个元素的集合到 $k$ 个元素的集合的函数 $f$ 一定不是一对一函数。

广义鸽巢原理

描述：将 $N$ 个物体放入 $k$ 个盒子，那么至少有一个盒子里面有 $\lceil N/k \rceil$ 个物体。

应用

定理：每个由 $n^2+1$ 个不同实数构成的序列都包含一个长度为 $n$ 的严格递增子序列或严格递减子序列。

上述定理可以使用广义鸽巢原理证明。

拉姆齐数（Ramsey number）：$R(m,n)$（其中$m,n\geq 2$） 是这样一个数 $N$，使得在 $N$ 个人中有 $m$ 个人互相认识或 n