52、二维回文子数组数量的研究

二维回文子数组数量的研究

1. 基本定义与符号说明

在开始研究二维回文之前，我们需要了解一些基本的定义和符号。
- 字母表与一维单词 ：字母表 $\Sigma$ 是一个有限非空的符号集合。一维有限单词 $w = [a_i]_{1\leq i\leq n}$ 是字母表 $\Sigma$ 上的有限字符串，记为 $w = a_1a_2a_3 \cdots a_n$，其中 $a_i \in \Sigma$。单词 $w$ 的长度用 $|w|$ 表示，$\Sigma^ $ 表示包含空单词 $\lambda$ 的所有 $\Sigma$ 上的单词集合，$\Sigma^+$ 表示所有非空单词集合。单词 $w$ 的反转 $w^R = a_n \cdots a_2a_1$。若 $w = w^R$，则称 $w$ 为一维回文。回文复杂度 $P(w)$ 是一维单词 $w$ 中不同非空回文因子的数量，$PAL(w)$ 是所有不同非空回文因子的集合。
- 二维数组 ：$\Sigma^{m\times n}$ 表示从字母表 $\Sigma$ 中选取元素构成的所有 $m \times n$ 矩形数组的集合。二维单词 $w$ 的因子是 $w$ 的子数组。在二维单词中，$\lambda$ 表示空单词，$\Sigma^{ *}$ 表示包含空单词 $\lambda$ 的所有二维单词集合，$\Sigma^{++}$ 表示所有非空二维单词集合。需要注意的是，$\Sigma^{m\times 0}$ 和 $\Sigma^{0\times n}$ 中的单词未定义。

二维数组有两种拼接操作：
- 列拼接