51、高效表示与计数单词中的反幂因子

高效表示与计数单词中的反幂因子

1. 简单计数算法

1.1 算法描述

算法 1：SimpleCount(w, n, k)

(Cd)⌊n/k⌋
d=1 := (∅, . . . , ∅)
for q := 0 to k − 2 do
    foreach (q + 1)-MGR or generalized run γ in w do
        p := per(γ)
        if (q + 1) | p then
            d := p / (q + 1)
            I := Squares(q, d, γ)
            Cd := Cd ∪ { Chaink(q, d, I) }
antipowers := 0
for d := 1 to ⌊n/k⌋ do
    WeakPow k(d) := (∪ Cd) ∩ [0 . . n − kd]
    antipowers := antipowers + (n − kd + 1) − |WeakPow k(d)|
return antipowers

1.2 复杂度分析

• 命题 11：长度为 n 的单词中 k - 反幂因子的数量可以在 $O(nk^3)$ 时间内计算。
  • 证明：使用引理 10 的 (b) 和 (c) 点，将集合 WeakPow k(d) 表示为 $O(nk^2)$ 个区间链的并集。每个区间链最多由 k 个区间组成。应用引理 6 可以在 $O(nk^3)$ 总时间内计算 WeakPow k