21、二阶微分方程的数值解法

二阶微分方程的数值解法

1. 二阶微分方程概述

二阶微分方程是指包含二阶导数的微分方程，其一般形式为：
[y’‘(t) + ay’(t) + by(t) = s(t)]
其中，(a) 和 (b) 是常数，(s(t)) 是关于 (t)、(y(t)) 或 (y’(t)) 的函数。求解二阶微分方程需要两个初始条件，即 (y(0) = y_0) 和 (y’(0) = y_0’)。如果 (s(t)) 与 (y(t)) 无关，则该微分方程是线性的；否则，它是非线性的。

2. 用龙格 - 库塔方法求解二阶微分方程

2.1 分解为一阶方程组

求解二阶微分方程的第一步是将其分解为一阶方程组。引入一个辅助变量 (x(t) = y’(t))，则原方程可分解为：
[
\begin{cases}
x(t) = y’(t) \
x’(t) + ax(t) + by(t) = s(t)
\end{cases}
]
进一步可表示为：
[
\begin{cases}
y’(t) = x(t) \
x’(t) = s(t) - ax(t) - by(t) = f(t, x, y)
\end{cases}
]
初始条件为 (x(0) = y_0’)。

2.2 龙格 - 库塔方法的计算步骤

龙格 - 库塔方法的计算步骤如下表所示：
| (y) 的计算 | (x) 的计算 |
| — | — |
| (\frac{dy}{dt} = f(t, x, y)) | (