7、插值与多项式：原理、方法及 MATLAB 实现

插值与多项式：原理、方法及 MATLAB 实现

1. 线性插值

线性插值是众多数值方法的基础，例如在推导梯形积分法或使用梯度近似函数的一阶导数时都会用到。它的操作是将一条直线拟合到两个或多个数据点上，其方程为：
[g(x)=\frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)+f(a)]
其中，(f(a)) 和 (f(b)) 分别是函数 (f(x)) 在 (x = a) 和 (x = b) 处的已知值。

线性插值会产生误差，误差表达式为：
[e(x)=0.5(x - a)(x - b)f’‘(\xi),\ a\leq x\leq b,\ a\leq \xi\leq b]
由于该误差难以精确计算，可进行如下估计：
[\vert e(x)\vert\leq0.5\vert(x - a)(x - b)\vert\max_{a\leq x\leq b}\vert f’‘(\xi)\vert]
误差是 (x) 的函数，在 (x = a) 和 (x = b) 处误差为 0，最大误差大约出现在中点。若假设 (f’‘(x)) 在区间内几乎恒定，则 (f’‘(\xi)) 可近似为 (f’‘(x_m))。

在 MATLAB 中，可使用 interp1 函数进行线性插值，其语法为：

interp1(x,y, xi,method)

其中， x 是待插值点的横坐标，以行向量表示； y 是待插值点的纵坐标，以行向量表示；