15、数字滤波器：IIR与FIR的全面解析

数字滤波器：IIR与FIR的全面解析

1. 无限脉冲响应（IIR）滤波器

无限脉冲响应（IIR）滤波器在数字信号处理中具有重要地位。它具有非线性相位和稳定性问题等特点。

1.1 IIR滤波器特点

• 非线性相位 ：IIR滤波器在感兴趣的频率范围内具有非线性相位响应，这导致群延迟在不同频率下变化，从而产生相位失真。
• 稳定性问题 ：由于其递归实现方式，IIR滤波器并非总是稳定的。为确保滤波器稳定，需保证所有极点都位于z平面的单位圆内，尤其是在定点实现和输入处理时。输出反馈会导致反馈部分存在一个样本的固有延迟。IIR滤波器通过计算两个向量的内积（点积）来工作，一个是前馈部分向量b和x的内积，另一个是反馈部分向量a和y的内积。设计IIR滤波器时，需确定两组系数 {bj, i = 0,1, … , L – 1} 和 {am, m = 1,2, … , M – 1} 以满足给定的规格。由于其递归计算会产生无限脉冲响应，因此设计时需特别小心，防止脉冲响应增长或振荡导致滤波器不稳定。

通过z变换和时间移位特性，可得到IIR滤波器的传递函数：
[
Y(z) = \frac{\sum_{i = 0}^{L - 1} b_i z^{-i}}{1 + \sum_{m = 1}^{M - 1} a_m z^{-m}} X(z)
]

IIR滤波器可表示为z⁻¹多项式的比值，其中分子多项式的根为零点，分母多项式的根为极点。为保证滤波器稳定，所有极点必须位于z平面的单位圆内。由于极点和零点都对频率响应有贡献，IIR滤