9、数字信号处理：离散傅里叶变换与快速傅里叶变换详解

数字信号处理：离散傅里叶变换与快速傅里叶变换详解

在数字信号处理领域，离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）是非常重要的概念。下面将详细介绍它们的原理、计算方法以及相关性质，并结合具体示例和MATLAB代码进行说明。

离散傅里叶变换（DFT）

DFT是将离散时间信号从时域转换到频域的一种重要工具。对于有限时长序列 (x(n))，其N点DFT定义为：
[X(k) = \sum_{n=0}^{N - 1} x(n) e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k = 0, 1, \cdots, N - 1]
对应的逆离散傅里叶变换（IDFT）定义为：
[x(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N - 1} X(k) e^{j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad n = 0, 1, \cdots, N - 1]
为了方便计算，我们定义旋转因子 (W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}})，则DFT和IDFT可以表示为：
[X(k) = \sum_{n=0}^{N - 1} x(n) W_N^{kn}, \quad k = 0, 1, \cdots, N - 1]
[x(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N - 1} X(k) W_N^{-kn}, \quad n = 0, 1, \cdots, N - 1]

示例计算

• 示例1 ：求序列 (x(n) = [1, 1, 0, 0]) 的DFT和序列 (Y(k) = [1, 0, 1, 0]) 的IDFT。