骨牌铺方格(递推)

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Problem Description

在2 × n的一个长方形方格中,用一个1 × 2的骨牌铺满方格,输入n ,输出铺放方案的总数.例如n=3时,为2 × 3方格，骨牌的铺放方案有三种,如下图：

Input

输入数据由多行组成，每行包含一个整数n,表示该测试实例的长方形方格的规格是2×n (0<n<=50)。

Output

对于每个测试实例，请输出铺放方案的总数，每个实例的输出占一行。

Sample Input

1
3
2

Sample Output

1
3
2

本题是经典的递推问题，解决递推问题的精华在于分体问题的方法。

思路一：

• 在2 × 1的一个长方形方格中,用一个1 × 2的骨牌铺满方格，只有1种铺法
• 在2 × 2的一个长方形方格中,用一个1 × 2的骨牌铺满方格，有2种铺法
  
  
• 在2 × 3的一个长方形方格中,用一个1 × 2的骨牌铺满方格，只有3种铺法(题目中已给出)
• 在2 × 4的一个长方形方格中,用一个1 × 2的骨牌铺满方格，只有5种铺法… …
• 综上：设铺满2 x n方格的方法数为F(n)，则：
  当n = 1时，方案数F(1) = 1.
  当n = 2时，方案数F(2) = 2.
  当n = 3时，方案数F(3) = 3 = F(1) + F(2)
  当n = 4时，方案数F(4) = 5 = F(2) + F(3)
  … …
  发现规律：
  当n = n时，F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)

得出AC代码如下

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;
LL dp[55];//防止越界

int main()
{
    int n;
    
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    
    //打表 + 状态转移方程
    for (int i = 3;i <= 55;i++) dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    
    while (cin >> n)
    {
        cout << dp[n] << endl;
    }
    return 0;
}

但是，如果题目所给条件比较复杂，无法从前往后推出状态转移方程，那可以考虑从后往前推：

• 首先，不管总的方案有多少种，对于2行n列的格子，第一行的最后一个格子要么被骨牌竖着盖住，要么被骨牌横着盖住
• 当第一行的最后一个格子被骨牌竖着盖住时，可以将n列的格子分解为n - 1列格子的覆盖问题——即F(n - 1)种方法，如图所示：
• 当第一行的最后一个格子被骨牌横着盖住时，第二行的最后一个格子的覆盖方法也随之确定了，故可以将n列的格子分解为n - 2列格子的覆盖问题——即F(n - 2)种方法，如图所示：
• 综上，仍然可以推出状态转移方程F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)

补充例题：

有个1 × n的长方形，用1 × 1、1 × 2、1 × 3的骨牌铺满方格。例如:当n = 3时为1 × 3的方格（如图),此时共有四种铺法。

• 若最后一个格子被1 x 1的骨牌铺满，则前面n - 1个格子有F(n - 1)种铺法
• 若最后一个格子被1 x 2的骨牌铺满，则前面n - 2个格子有F(n - 2)种铺法
• 若最后一个格子被1 x 3的骨牌铺满，则前面n - 3个格子有F(n - 3)种铺法
• F(1) = 1
• F(2) = 2
• F(3) = 4
• 故得出状态转移方程：F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) + F(n - 3)