凸包及旋转卡壳求凸包直径

那么，先提一下最基本最暴力的求凸包直径的方法吧---枚举。。。好吧。。很多问题都可以用 枚举 这个“万能”的方法来解决，过程很简单方便是肯定的，不过在效率上就要差很远了。 要求一个点集的直径，即使先计算出这个点集的凸包，然后再枚举凸包上的点对，这样来求点集直径的话依然会在凸包上点的数量达到O（n）级别是极大的降低它的效率，也浪费了凸包的优美性质。不过在数据量较小或者很适合时，何必要大费周折的用那些麻烦复杂的算法呢，枚举依然是解决问题的很好的方法之一。

然后就是今天的旋转卡壳算法了。（那个字念 qia 。。。搞了好久才发现读都读错了。囧。。。）

旋转卡壳可以用于求凸包的直径、宽度，两个不相交凸包间的最大距离和最小距离等。虽然算法的思想不难理解，但是实现起来真的很容易让人“卡壳”。

其实简单来说就是用一对平行线“卡”住凸包进行旋转。

被一对卡壳正好卡住的对应点对称为对踵点，对锺点的具体定义不好说，不过从图上还是比较好理解的。

可以证明对踵点的个数不超过3N/2个 也就是说对踵点的个数是O(N)的

对踵点的个数也是我们下面解决问题时间复杂度的保证。

卡壳呢，具体来说有两种情况：

1.

一种是这样，两个平行线正好卡着两个点；

2.

一种是这样，分别卡着一条边和一个点。

而第二种情况在实现中比较容易处理，这里就只研究第二种情况。

在第二种情况中 我们可以看到 一个对踵点和对应边之间的距离比其他点要大（借用某大神的图··）

也就是一个对踵点和对应边所形成的三角形是最大的 下面我们会据此得到对踵点的简化求法。

下面给出一个官方的说明：

Compute the polygon's extreme points in the y direction. Call them ymin and ymax. Construct two horizontal lines of support through ymin and ymax. Since this is already an anti-podal pair, compute the distance, and keep as maximum. Rotate the lines until one is flush with an edge of the polygon. A new anti-podal pair is determined. Compute the new distance, compare to old maximum, and update if necessary. Repeat steps 3 and 4 until the anti-podal pair considered is (ymin,ymax) again. Output the pair(s) determining the maximum as the diameter pair(s).

要是真的按这个实现起来就麻烦到吐了。。

根据上面的第二种情况，我们可以得到下面的方法：

如果qa，qb是凸包上最远两点，必然可以分别过qa，qb画出一对平行线。通过旋转这对平行线，我们可以让它和凸包上的一条边重合,如图中蓝色直线，可以注意到，qa是凸包上离p和qb所在直线最远的点。于是我们的思路就是枚举凸包上的所有边，对每一条边找出凸包上离该边最远的顶点，计算这个顶点到该边两个端点的距离，并记录最大的值。

直观上这是一个O(n2)的算法，和直接枚举任意两个顶点一样了。

然而我们可以发现 凸包上的点依次与对应边产生的距离成单峰函数（如下图：）

这个性质就很重要啦。

根据这个凸包的特性，我们注意到逆时针枚举边的时候，最远点的变化也是逆时针的，这样就可以不用从头计算最远点，而可以紧接着上一次的最远点继续计算。于是我们得到了O(n)的算法。这就是所谓的“旋转”吧！

利用旋转卡壳，我们可以在O（n）的时间内得到凸包的对锺点中的长度最长的点对。

又由于最远点对必然属于对踵点对集合 ，那么我们先求出凸包 然后求出对踵点对集合 然后选出距离最大的即可

http://poj.org/problem?id=2187

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#define N 50005
using namespace std;
struct Point
{
	int x;
	int y;
}p[N];
int top,n,s[N];//s中存的是凸包包含的极点
int dis(const Point& a,const Point& b)
{return (a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y);}
int cross(const Point& a,const Point& b,const Point& c)
{return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);}
bool cmp(const Point& a,const Point& b)//幅角排序
{
	int ans=cross(p[0],a,b);
	if((ans>0)||(ans==0&&dis(p[0],a)<dis(p[0],b))) return true;//再求凸包时可以删除共线的那个点
	return false;
}
 void graham()//凸包模板
 {
	 s[0]=0;
	 s[1]=1;
	 top=1;
	 for(int i=2;i!=n;++i)
	 {
		 while(top&&cross(p[s[top-1]],p[s[top]],p[i])<0) top--;
		 s[++top]=i;
	 }
	 top++;
 }
 void doit()//旋转卡壳
 {
	 int q=1,ans=dis(p[s[0]],p[s[1]]);
	 for(int i=0;i!=top;++i)
	 {
		 while(abs(cross(p[s[(i+1)%top]],p[s[i%top]],p[s[(q+1)%top]]))>abs(cross(p[s[(i+1)%top]],p[s[i%top]],p[s[q%top]])))  q=(q+1)%top;
		 ans=max(ans,max(dis(p[s[(i+1)%top]],p[s[q]]),dis(p[s[i%top]],p[s[q]])));
	 }
	 printf("%d\n",ans);
}
 int main()
 {
	 while(~scanf("%d",&n))
	 {
		 for(int i=0;i!=n;++i)
			 scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
		  Point ans=p[0];
		  int u=0;
		  for(int i=1;i!=n;++i)
			  if((ans.y>p[i].y)||(ans.y==p[i].y&&ans.x>p[i].x)) ans=p[i],u=i;
		  if(u) swap(p[u],p[0]);
		   sort(p+1,p+n,cmp);
		   memset(s,0,sizeof(s));
		   graham();
		   doit();	   
	 }return 0;
 }