本文介绍了皮尔森相关系数的概念及其在统计中的应用，包括总体和样本的定义，两种计算方式，并展示了如何使用Python进行计算。通过生成随机数据集，绘制散点图并运用pandas和scipy库计算相关系数及显著性检验。此外，还提供了自定义函数实现相关系数的计算。
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一、概述
- 皮尔森相关系数也称皮尔森积矩相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient) ，是一种线性相关系数，是最常用的一种相关系数。记为r，用来反映两个变量X和Y的线性相关程度，r 值介于-1到1之间，绝对值越大表明相关性越强。
- 适用连续变量。
- 相关系数与相关程度一般划分为
0.8 - 1.0 极强相关
0.6 - 0.8 强相关
0.4 - 0.6 中等程度相关
0.2 - 0.4 弱相关
0.0 - 0.2 极弱相关或无相关
二、定义
2.1 总体样本定义
ρ X , Y = c o v ( X , Y ) σ X σ Y = E ( X − μ X ) E ( Y − μ Y ) σ X σ Y \begin{aligned} \rho_{X,Y} = \frac {cov(X,Y)} {\sigma_{X} \sigma_{Y}} = \frac {E(X-\mu_{X}) E(Y-\mu_{Y})} {\sigma_{X} \sigma_{Y}} \end{aligned} ρX,Y=σXσYcov(X,Y)=σXσYE(X−μX)E(Y−μY)
其中， σ X = E { [ X − E ( X ) ] 2 } , σ Y = E { [ Y − E ( Y ) ] 2 } \sigma_{X} = \sqrt{E\{[X - E(X)]^{2}\}},\sigma_{Y} = \sqrt{E\{[Y - E(Y)]^{2}\}} σX=E{
[X−E(X)]2},σY=E{
[Y−E(Y)]2}
2.2 估算样本定义
-
估算样本的协方差和标准差，可得到样本相关系数（即样本皮尔森相关系数），常用 r 表示：
r = ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) ( Y i − Y ‾ ) ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ∑ i = 1 n ( Y i − Y ‾ ) 2 \begin{aligned} r = \frac { \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \overline{X}) (Y_{i} - \overline{Y}) } { \sqrt{ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \overline{X})^{2} } \sqrt{ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (Y_{i} - \overline{Y})^{2} } } \end{aligned} r
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