python 层次分析（AHP）

一、算法原理

• 层次分析法（analytic hierarchy process），简称AHP，是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

• 传统定性分析方法类似专家打分、专家判断等，仅能将指标简单地划分为几个层级（类似非常重要、比较重要、一般、比较不重要、非常不重要），这样导致部分存在差别但是不大的指标得到了同样的权重，受主观因素影响，无法对最终决策做出更好的帮助。层次分析法将不同指标间一一比对，主观与客观相结合，很好地解决了以上问题。

• 判断矩阵量化值参照表：

因素i比因素j	量化值
同等重要	1
稍微重要	3
较强重要	5
强烈重要	7
极端重要	9
两相邻判断的中间值	2，4，6，8
倒数	假设因素i相比因素j重要程度量化值为3，相反就是1/3

二、案例分析

目的：选择某个城市旅游

方案：南京、桂林、三亚

考虑因素：景色、吃住、价格、人文

2.1 构建指标层判断矩阵

构建判断矩阵，理论上需要专家打分。

2.2 求各指标权重

2.2.1 算术平均法（和积法）

1. 按列求和：如$1+4+1/2+3=8.5$。
   

2. 将指标层判断矩阵按列归一化（即按列求占比），如：
   $0.12=1/8.5$
   $0.47=4/8.5$
   $0.06=1/2/8.5$
   $0.35=3/8.5$
   

3. 将归一化后的矩阵按行求平均，得到权重向量w
   

2.2.2 几何平均法（方根法）

1. 每行各元素相乘（行乘积），如$1\ast 1/4\ast 2\ast 1/3=0.1667$
   

2. 对乘积列每个元素开n次方（n为矩阵阶数，此处n=4），如$\sqrt[4]{0.1667}=0.6389$.
   

3. 然后对开方列求列占比，得到权重向量w，如$$0.1171=0.6389/5.4566$$.
   

2.3 一致性检验

2.3.1 求解最大特征根值

得到权重向量后，可以计算出原判断矩阵的最大特征根值，公式为：

$${\lambda }_{max}=\frac{1}{n}i$$