窗边框生产中的最优切割问题

在窗边框（窗外边框）的生产过程中，窗框的尺寸和形状对建筑物的外观和功能有重要影响。在加工过程中，原材料（如铝合金、钢材等）往往是长条形的，通常需要根据不同订单的需求进行切割，确保每个窗框的尺寸符合要求。窗框的切割方案需要考虑用户的目标尺寸及其目标范围，同时还需要计算锯口宽度对切割损失的影响。

此外，在生产过程中，原材料可能存在不规则缺陷，缺陷的具体位置和大小是随机的，这要求生产过程中能及时调整切割方案，避开缺陷区域，确保窗框的质量，并最大化利用原材料。每次切割时需要考虑锯口宽度的影响，即切割机的切割占用宽度。

请建立数学模型，解决以下问题：

问题1 假设每个订单包含多个窗框的需求，并且每个窗框有其目标宽度、目标高度以及目标范围（即目标尺寸的允许误差范围）。每次切割时，需要考虑锯口宽度对实际切割尺寸的影响。要求在剩余原材料的长度内，尽量满足订单的目标尺寸，并尽可能减少切割损失。表1是具体的订单需求：

表1： 订单的具体切割需求

订单号	订单需求对象	订单量（套）	宽度目标（米）	高度目标（米）	窗框单价（元/套）
1	学校教学楼	10	1.6	2.2	480
2	酒店客房	20	1.8	2.4	680
3	医院病房	20	1.7	2.3	550
4	政府办公楼	15	1.5	2.0	420

宽度和高度可以在给定尺寸的基础上有0.01米的变化范围，制作一个完整的窗框需要两个高和两个宽。已知原材料的长度分别为：5.5米、6.2米、7.8米，单价分别为18元/根、22元/根和28元/根，原材料的数量不限，锯口宽度为0.005米。请根据原材料的长度，在尽可能满足用户需求的情况下，建立数学模型，给出最优切割方案，实现利润最大化（总成本（原材料成本）与总收益（窗框销售收益）的差值），并计算所给方案整体的切割损失率及利用率。

问题2 假设每个原材料存在不规则缺陷，缺陷的大小和位置是已知的，缺陷会影响切割的部分材料，即加工的成品不能包含缺陷区域（每一个缺陷区域可视为矩形区域），每类原材料的缺陷信息包含缺陷起始位置和缺陷的长度，如表2所示。

表2： 具体缺陷信息

原材料编号	原材料长度（米）	缺陷位置（从左端起）（米处）	缺陷长度（米）
1	5.5	1.0	0.03
1	5.5	2.5	0.04
2	6.2	0.5	0.02
2	6.2	1.8	0.05
3	7.8	3.0	0.03

根据这些缺陷，请在问题1的基础上，重新建立数学模型，制定最优切割方案，并计算调整后切割方案整体的切割损失率及利用率。

问题3 基于附件中的缺陷数据和表3中的订单需求，建立数学模型，制定最优切割方案。

表3： 订单的具体切割需求

订单号	订单需求对象	订单量（套）	宽度目标（米）	高度目标（米）	窗框单价（元/套）
1	学校教学楼	120	1.6	2.2	480
2	酒店客房	80	1.8	2.4	680
3	医院病房	60	1.7	2.3	550
4	政府办公楼	40	1.5	2.0	420

说明：

（1）利用率=（总用料量-切割后的总余料量）/总用料量，其中总用料量含锯口宽度。

（2）题中切割损失率及利用率的研究对象是总用料，而非单根原材料。

                                                                      附件

原材料编号	原材料长度 (米)	缺陷位置 (米)	缺陷长度 (米)	单价（元/根）
1	5.5	1	0.3	17
1	5.5	3	0.2	17.33
2	6.2	2	0.4	20.59
3	7	1.5	0.2	24.41
3	7	4	0.3	24.05
4	5.8	1.2	0.5	17.33
5	6.5	2.3	0.3	22
6	7.5	1	0.6	24.77
7	6	2.8	0.4	19.83
8	8.2	1.3	0.5	27.64
9	6.8	2.1	0.3	23.32
9	6.8	5	0.2	23.69
10	5.6	1.1	0.2	17.66
11	7.3	3.1	0.4	24.77
12	6.1	1.7	0.5	19.83
13	8	2.5	0.3	27.64
14	5.9	3	0.4	18
15	6.3	1.9	0.3	21.27
16	7.8	1.2	0.4	26.57
17	6.7	2.4	0.3	22.91
18	5.4	0.8	0.3	16.68
19	7.4	3	0.2	25.85
20	6.9	2	0.5	22.91
21	8.1	2.2	0.4	27.64
22	7.6	1.6	0.3	26.2
23	5.7	2.7	0.4	17.33
24	6.4	1.8	0.2	22
25	8.3	0.9	0.3	28.72
26	6	1.1	0.5	18
27	7.9	2.9	0.2	27.64
28	5.5	1.3	0.4	16.68
29	6.2	3.2	0.3	20.95
30	7.1	2.3	0.5	23.69
31	6.8	1.9	0.2	23.69
32	5.8	2.5	0.4	17.66
33	7.3	3	0.3	25.13
34	6.9	2	0.2	24.05
35	7.5	1.6	0.4	25.49
36	5.6	1	0.3	17.33
37	6.4	2.2	0.5	20.95
38	6.6	2	0.4	22
39	7	3.1	0.3	24.05
40	8	1.5	0.2	28
41	5.9	1.9	0.3	19.83
42	7.7	2.6	0.5	25.85
43	6.5	1.1	0.2	22.41
44	7.2	2.7	0.4	24.41
45	6.1	3	0.3	20.59
46	5.4	1.5	0.2	17
47	8.2	2	0.5	27.64
48	6.7	2.9	0.3	22.91
49	7.8	1.2	0.4	26.57
50	5.5	2.1	0.5	16.36
51	6.6	3.2	0.4	22
52	7	1.7	0.3	24.05
53	5.8	1	0.4	17.66
54	8	2.3	0.2	28
55	6.9	2.5	0.3	23.69
56	7.2	3	0.4	24.41
57	6.3	2.4	0.3	21.27
58	8.1	1.9	0.5	27.27
59	5.6	3.1	0.4	17
60	7.4	2	0.3	25.49
61	6.1	1.8	0.5	19.83
62	6.8	2.1	0.2	23.69
63	7.3	1.4	0.3	25.13
64	5.7	2.6	0.4	17.33
65	7	2.5	0.2	24.41
66	6.5	3	0.3	22
67	5.8	1.2	0.5	17.33
68	8.2	2.7	0.4	28
69	7.5	3	0.3	25.85
70	6	1.1	0.3	19.41
71	7.7	2.3	0.5	25.85
72	6.6	2	0.4	22
73	6.2	3.1	0.2	21.27
74	7.3	1.5	0.3	25.13
75	5.5	2.4	0.4	16.68
76	7	1.8	0.5	23.32
77	6.9	2.5	0.3	23.69
78	8	2.6	0.4	27.27
79	7.4	1.7	0.2	25.85
80	6.3	3	0.5	20.59