[BZOJ3156] 防御准备

最新推荐文章于 2019-07-24 12:36:51 发布

slongle_amazing

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分类专栏：动态规划—优化—斜率优化

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本文介绍了一道关于在每个点建造守卫塔或移动到最近守卫塔的最优化问题。通过动态规划方法求解最小花费，利用数学推导简化了状态转移方程，并给出了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3156

题目大意

每个点可以建个守卫塔(给定价格),或者向右移动到最近的守卫塔(价格为距离)询问最小价格

题解

$dp[i]=min\{dp[j]+\frac{(i-j)*(i-j-1)}{2}+x[i]\}$
$dp[i]=min\{dp[j]+\frac{j^2-2ij+j}{2}\}+i^2-i+x[i]$
$假设j<k且k更优$
$dp[j]+\frac{j^2-2ij+j}{2}>dp[k]+\frac{k^2-2ik+k}{2}$
$dp[j]-dp[k]>\frac{k^2-2ik+k}{2}-\frac{j^2-2ij+j}{2}$
$dp[j]-dp[k]-\frac{k^2+k-j^2-j}{2}>i(j-k)$
$j-k<0$
$\frac{dp[j]-dp[k]-\frac{k^2+k-j^2-j}{2}}{j-k}<i$

const
 maxn=1000005;
var
 dp,x:array[0..maxn]of int64;
 t:array[0..maxn]of longint;
 i,j,k,n,tt,l,r:longint;
function f(a,b:longint):real;
var c,d,e:real;
begin
 c:=a; d:=b;
 e:=(dp[a]-dp[b]+(c*c+c-d*d-d)/2)/(c-d);
 exit(e);
end;

begin
 readln(n);
 for i:=1 to n do
  read(x[i]);
 l:=1; r:=1; t[1]:=0;
 for i:=1 to n do
  begin
   while (l<r)and(f(t[l],t[l+1])<=i) do inc(l);
   tt:=t[l]; dp[i]:=dp[tt]+x[i]+((i-tt)*(i-tt-1))div 2;
   while (l<r)and(f(t[r-1],t[r])>f(t[r],i)) do dec(r);
   inc(r); t[r]:=i;
  end;
 writeln(dp[n]);

 {fillchar(dp,sizeof(dp),0);
 for i:=1 to n do
  begin
   dp[i]:=maxlongint;
   for j:=0 to i-1 do
    if dp[j]+x[i]+((i-j)*(i-j-1))div 2<dp[i]
    then begin tt:=j; dp[i]:=dp[j]+x[i]+((i-j)*(i-j-1))div 2; end;
   writeln(i,' ',dp[i],' ',tt);
  end;
 writeln(dp[n]);}

end.