BZOJ 3156 防御准备动态规划+斜率优化

最新推荐文章于 2019-07-24 12:36:51 发布

MyZhY

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分类专栏： DP/记忆化搜索

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本文介绍了一种基于动态规划和斜率优化的算法，用于解决在一维战线上合理布局守卫塔的问题，以达到最小化整体花费的目标。该算法通过维护一个队列来更新状态，确保计算效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

Input

第一行为一个整数N表示战线的总长度。

第二行N个整数，第i个整数表示在位置i放置守卫塔的花费Ai。

Output

共一个整数，表示最小的战线花费值。

Sample Input

10
2 3 1 5 4 5 6 3 1 2

Sample Output

HINT

1<=N<=10^6,1<=Ai<=10^9

传送门

比较明显的dp，f[i]表示i点放置守卫塔，1~i的最小代价。

那么f[i]=min{f[j]+a[i]+【(j+1)~(i-1)与i的距离和】}

其中，距离和可以通过简单的数学式子表示出来：

i-j-1+i-j-2+……+1

就是个等差数列，也就是

(i-j)*(i-j-1)/2

所以f[i]=min{f[j]+a[i]+(i-j)*(i-j-1)/2}

接下来就是斜率优化的过程……

推出来的斜率似乎是(2(f[j]-f[k])+j*j+j-k*k-k)/(j-k)

推得仔细些……别推错了……= =

对了要long long

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int 
	N=1000005;
int n,Q[N];
ll a[N],f[N];
ll ANS(int i,int j){
	return f[j]+(ll)(((i-j)*(i-j-1))>>1LL)+a[i];
}
bool ok(ll i,ll j,ll k){
	ll t1=2LL*(f[i]-f[j])+i*i+i-j*j-j,t2=i-j,
		t3=2LL*(f[j]-f[k])+j*j+j-k*k-k,t4=j-k;
	return t1*t4>t3*t2;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
	int head=1,tail=1;Q[1]=0;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		while (head<tail && ANS(i,Q[head])>ANS(i,Q[head+1])) head++;
		f[i]=ANS(i,Q[head]);
		while (head<tail && ok(Q[tail-1],Q[tail],i)) tail--;
		Q[++tail]=i;
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}