背包问题学习笔记（1）

背包问题学习笔记（1）

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写在前面

一方面学习背包九讲：http://blog.youkuaiyun.com/pi9nc/article/details/8142876,这个十分清晰，重点标记清楚。
但有些需要自己理解的和重点的，我做了如下笔记，方便别人理解，也方便自己复习，如有错误，欢迎指正。

01背包问题

状态函数f[i][v] 表示==前i件物品放入容量为v的背包可获得的最大价值==

状态迁移方程

    f[i][v] = max { f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

考虑下为什么是这样的，对于第i件物品，我们只考虑是否要把这个放进去，这取决与两种情况:

1. 不放进去，那么前i-1件容量和最大可以是v -- f[i-1][v];
2. 放进去，那么前i-1件容量和最大为v-c[i] -- f[i-1][v-c[i]]+w[i]

以上方法==时间和空间复杂度均为O(N*V)==

可以优化空间复杂度为O(v):

    for i = 1:N
    for v = V:0
        f[v] = max { f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

TIPS:

  注意由于i是从1:N，所以每当i增加1时，f[v]都之前的值，即f[i-1][v],因此需要V是逆序，这样f[v-c[i]]中才不会被修改(V-c[i]

01背包抽象

• 不一定需要从一开始，那样会浪费

ZeroOnePack 抽象优化

    /**
     * @param cost i物品的费用
     * @param weight i物品的价值
     */
    procedure ZeroOnePack(cost ,weight)
        for v = V:cost
            f[v] = max { f[v], f[v-cost]+weight}

初始化的细节问题

• 问法一: 要求恰好装满背包
  
  • 初始化时，除了f[0]为0 其他f[i] (1<=i<=V)均设置为-∞
  • 结果 最终的 f[n]是恰好装满的最优解
• 问法二: 没有要求背包装满，希望 Weight 和最大
  
  • 初始化 f[i] (0<=i<=V)全部为0
  • 最终的 f[n] 是最优解
• Tips 初始化原因

    1. 如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，
       其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。
    2. 如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值
       为0，所以初始时状态的值也就全部为0了

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