背包九讲学习笔记（2）

完全背包问题

写在前面

一方面学习背包九讲：http://blog.youkuaiyun.com/pi9nc/article/details/8142876>http://blog.youkuaiyun.com/pi9nc/article/details/8142876,这个十分清晰，重点标记清楚。
但有些需要自己理解的和重点的，我做了如下笔记，方便别人理解，也方便自己复习，如有错误，欢迎指正。

题目特点

    1. N种物品V容量，每种物品费用c[i],价值w[i]
    2. 每种物品无限件
    3. 要求: 费用和不超过背包容量且价值总和最小

简单思路

基本思路

1. 从每件物品的角度考虑，与它相关的策略变成取k件 (0<=i<=V/c[i]) ，所以策略转移方程如下:

    f[i][v]=max{f[i-1][V-k*c[i]]+k*w[i]| 0<=k*c[i]<=V}

1. 时间复杂度: 跟01背包问题一样有O(NV) 个状态，但是求解每个状态不是常数，而是O(V/c[i]),总的复杂度是超过O(VN)

简单有效的优化

    1. 优化方案:
        - 首先去除费用大于V的物品,然后采用类似计数排序的算法，计算出相同费用中是哪个。(时间复杂度:O(V+N))
        - 若两件物品i,j满足c[i] <= c[j] 且 w[i] = w[j], 则将物品j去掉(至少不会差思路)
    2. 优化效果:
        - 对于随机数据，往往大大减少物品的件数，加快速度
        - 最坏情况，可能一件物品都去不掉。
    3. 时间复杂度: (O(N^2))

转化成01背包问题

    1. 转换思路:
        - 由于第i件物品最多选V/c[i]件，于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变，然后求解这个问题。
    2. 时间复杂度:
        - 没有改变基本思路的时间复杂度

更高效的转化思路

1. 奇怪的优化方案: (我在看这部分时,理解了半天，最终觉得这样的理解不太对，比如第i件选3件时,并不能是2^k件，虽然伪代码和这也并不相关。)

        将第i种物品转化为费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第i种物品，
        总可以表示成若干个2^k件物品的和。

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2. 由基本思路转化:

    1. 伪代码:
        for i=1:n
            for v=0:V
                f[v] = max {f[v],f[v-c[i]]+w[i]}
    2. 代码解释
        这个伪代码与01背包的伪代码的区别只有v的循环次序不同而已,那么我们分析下这两种顺序作用
        - 逆序（01背包）:保证f[i][v]是由f[i][v]递推而来，保证了每件物品只选择一次
        - 顺序 :相当于f[i][v] = max{ f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]},即f[v-c[i]]有可能被修改过了，
          那么代表第i件物品被选择了至少一次,f[v-c[i]]就代表着在此基础上在增加一件（类似基本思路中，依次增大k）
    3. 完全背包抽象
        /**
         * @param cost 第i件物品的费用
         * @param weight 第i件物品的价值
         */
        procedure CompletePack(cost,weight)
            for v = cost :V
                f[v] = max{f[v],f[v-cost]+weight}

总结

- 学习背包问题，需要自己深入思考其中的含义，一步步的自己动手写，只有这样才能深入理解大神的跳跃的思路