【电磁场计算】磁偶极子在外磁场中的受力

磁偶极子受力计算：从推导到解析

最新推荐文章于 2025-02-25 14:41:11 发布

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#矩阵 #学习

本文详细探讨了磁偶极子在外磁场中的受力计算，通过磁势能的梯度得出受力公式，并澄清了一些文献中的误解。推导过程中指出在无外电流条件下，受力简化为磁矩与磁场梯度的点乘。进一步通过矢量展开，明确了受力表达式的矩阵形式，揭示了与磁场雅可比矩阵的关系。最终得出简洁的受力表达式，并强调了与磁场梯度矩阵的区别。

磁偶极子在外磁场中的受力

背景
受力推导
矢量展开
结论

背景

最近在总结电磁场计算公式的时候发现，关于磁偶极子受力的计算公式，在不同文献中的说明有点出入，在此特地写一篇博客澄清一下。

受力推导

通过磁偶极子在外磁场中的磁势能求梯度得出其受力：
$\begin{align*} F &= -\nabla(U) \\ &= -\nabla(-m \cdot B) \\ &= m \times (\nabla \times B) + (m \cdot \nabla)B \end{align*}$
在计算的区域内（磁偶极子所在的微小空间）内可认为无外电流，即 $\nabla \times B=0$ ，故有：
$\cdot \nabla)B \tag{1}$

以上是标准的计算公式，很多教材中也是这样写的。而有的文献中直接描述为 $F$ 等于磁矩 $m$ 与磁场梯度 $\nabla B$ 相乘—— $\cdot \nabla B$ ，这是不对的。

矢量展开

式(1)右侧是磁矩 $m$ 右点乘梯度算子 $\nabla$ ，再对磁感应强度 $B$ 求梯度，展开为:
$\begin{align*} F &=(m_x \cdot \frac{ \partial}{ \partial x } + m_y \cdot \frac{ \partial}{ \partial y } +m_z \cdot \frac{ \partial}{ \partial z } )B \\ &= \begin{bmatrix} m_x \frac{ \partial B_x }{ \partial x } + m_y \frac{ \partial B_x }{ \partial y } + m_z \frac{ \partial B_x }{ \partial z } \\ m_x \frac{ \partial B_y }{ \partial x } + m_y \frac{ \partial B_y }{ \partial y } + m_z \frac{ \partial B_y }{ \partial z } \\ m_x \frac{ \partial B_z }{ \partial x } + m_y \frac{ \partial B_z }{ \partial y } + m_z \frac{ \partial B_z }{ \partial z } \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \frac{ \partial B_x }{ \partial x } & \frac{ \partial B_x }{ \partial y } &\frac{ \partial B_x }{ \partial z } \\ \frac{ \partial B_y }{ \partial x } & \frac{ \partial B_y }{ \partial y } & \frac{ \partial B_y }{ \partial z } \\ \frac{ \partial B_z }{ \partial x } & \frac{ \partial B_z }{ \partial y } & \frac{ \partial B_z }{ \partial z } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_x \\ m_y \\ m_z \end{bmatrix} \\ &= J(B) m \end{align*}$

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