扩散模型的基础理论到面部交互生成

1. 前言

扩散模型（Diffusion Model）近年来在生成图像和视频的领域中脱颖而出，其独特的生成过程使其在时间一致性和图像质量方面有着显著优势[1]。本篇文章将简单易懂地介绍扩散模型的核心工作原理，并深入探讨其在面部交互生成中的潜在应用与在项目特定实现的方法。

2. 扩散模型的理论基础

扩散模型由两个主要过程组成[1, 5]：前向扩散过程（Forward Diffusion Process）和逆向去噪过程（Reverse Denoising Process）。首先，模型通过逐步向图像加入噪声，使其逐渐转变为完全随机的状态；然后，模型通过逐步去噪，将噪声图像还原为干净图像。

2.1. 前向扩散过程

前向扩散过程是一个马尔可夫链（Markov Chain），从时间步 $t=0$ 开始逐步向图像添加噪声，直到最终时间步 $t=T$ 得到完全被噪声覆盖的图像。在时间步 $t$ 的图像 $X_t$ 与前一步 $X_{t-1}$ 之间的关系可以描述为：

$$q(X_t\mid X_{t-1})=\mathcal{N}(X_t;\sqrt{1-{\beta }_t}{X}_{t-1},{\beta }_t\mathbf{I}).\text{\hspace{1em}(1)}$$

这里的 $\mathcal{N}$ 表示正态分布，${\beta }_t$ 是每个时间步的噪声添加比例，$\mathbf{I}$ 为单位矩阵。

上图来自经典的扩散模型文章[2]，展示了扩散模型的马尔可夫链的过程。要理解整个过程，我们可以将其展开为从干净图像 $X_0$ 开始到任意时间步 $t$ 的联合概率分布：

$$q(X_{1:T}\mid X_0)=\prod _{t=1}^{T}q(X_t\mid X_{t-1}).\text{\hspace{1em}(2)}$$

为了简化模型，可以直接从 $X_0$ 得到任意时间步 $X_t$，通过引入参数 ${\alpha }_t=1-{\beta }_t$，定义：

$${\bar{\alpha }}_t=\prod _{s=1}^t{\alpha }_s.$$

则 $X_t$ 可以通过以下公式表示为：

$$q(X_t\mid X_0)=\mathcal{N}(X_t;\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{X}_0,(1-{\bar{\alpha }}_t)\mathbf{I}).\text{\hspace{1em}(3)}$$

这个公式告诉我们，在给定初始图像 $X_0$ 的情况下，时间步 $t$ 的图像 $X_t$ 可以通过加权的 $X_0$ 加上一个与时间相关的噪声项来得到。

2.2. 逆向去噪过程

在逆向去噪过程中，我们试图从完全被噪声覆盖的图像 $X_T$ 开始，逐步去噪回到干净图像 $X_0$。这个过程也被称为“生成过程”，我们希望学习一个参数化的模型 $p_{\theta }(X_{t-1}\mid X_t)$ 来逐步去噪。

逆向过程的基本公式为：

$$p_{\theta }(X_{t-1}\mid X_t)=\mathcal{N}(X_{t-1};{\mu }_{\theta }(X_t,t),{\Sigma }_{\theta }(X_t,t)).\text{\hspace{1em}(4)}$$

这里，${\mu }_{\theta }(X_t,t)$ 是由神经网络（例如下图的U-Net[3]）预测的去噪均值，${\Sigma }_{\theta }(X_t,t)$ 为去噪方差。在实际实现中，我们通常假设 ${\Sigma }_{\theta }(X_t,t)$ 是固定的，从而简化模型的学习。

为了推导去噪均值 ${\mu }_{\theta }(X_t,t)$，可以利用变分下界（Variational Lower Bound, VLB）来优化模型的参数。具体来说，我们的目标是最大化模型对数据的似然函数 $p_{\theta }(X_0)$，即：

$$\log p_{\theta }(X_0)\ge {\mathbb{E}}_q\left[\log p_{\theta }(X_{0:T})-\log q(X_{1:T}\mid X_0)\right].\text{\hspace{1em}(5)}$$

通过变分下界展开，我们可以得到以下损失函数：

$${\mathcal{L}}_{\text{vlb}}={\mathbb{E}}_q\left[\sum _{t=2}^T\text{KL}(q(X_{t-1}\mid X_t,X_0)\Vert p_{\theta }(X_{t-1}\mid X_t))-\log p_{\theta }(X_0\mid X_1)\right].\text{\hspace{1em}(6)}$$

这个损失函数中的 KL 散度项用于衡量模型在每一个时间步上预测的分布与真实分布之间的差异。通过最小化这个差异，模型可以学习到如何逐步去噪，从而得到高质量的生成图像。

2.3. 去噪预测与采样过程

在实际的去噪过程中，我们使用神经网络 ${ϵ}_{\theta }(X_t,t)$ 来预测图像中的噪声 $ϵ$。逆向过程的采样公式可以表示为：

$$X_{t-1}=\frac{1}{\sqrt{{\alpha }_t}}\left(X_t-\frac{{\beta }_t}{\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}}{ϵ}_{\theta }(X_t,t)\right)+\sqrt{{\beta }_t}\mathbf{z}.\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中，$\mathbf{z}$ 为从标准正态分布中采样的噪声。

为了进一步理解这一公式，我们可以对去噪过程进行如下推导：

1. 噪声预测：模型通过学习预测输入图像 $X_t$ 中的噪声项 ${ϵ}_{\theta }(X_t,t)$，然后根据预测的噪声对图像进行修正，使其逐渐接近无噪声的图像。

2. 去噪更新：在每个时间步 $t$，通过计算去噪均值 ${\mu }_{\theta }(X_t,t)$ 并使用随机噪声项 $\mathbf{z}$，生成去噪后的图像 $X_{t-1}$，逐步减少噪声，最终得到原始图像 $X_0$ 的近似。

2.4. 去噪过程中的时间编码

在扩散模型中，时间编码（Time Encoding）是一个非常重要的部分，它能够帮助模型了解当前所处的时间步，从而在去噪过程中更好地利用历史信息。时间编码通常采用正弦和余弦函数的组合形式：

$$\text{PE}(\tau ,2d_i)=\sin \left(\frac{\tau }{10000^{\frac{2d_i}{d}}}\right),\text{PE}(\tau ,2d_{i+1})=\cos \left(\frac{\tau }{10000^{\frac{2d_i}{d}}}\right).\text{\hspace{1em}(8)}$$

这种编码方式能够有效地捕捉时间步之间的周期性变化，使得模型在生成序列数据（如视频帧）时可以保持时间上的一致性和连贯性。

3. 扩散模型在面部交互生成中的应用（项目特定实现）

以下部分内容为我们在项目中特定实现的扩展，可能并不适用于所有扩散模型和交互生成任务，而是特定于我们的方法和结构。

在面部交互生成中，扩散模型需要处理视频序列中的多个角色，并保证每个角色的表情与音频之间的同步性。为了实现这一目标，我们在扩散模型中加入了以下几个关键模块：

1. 参考帧（Reference Frame）与先前帧（Previous Frames）：每个时间步生成的图像都依赖于一个参考帧和先前的几帧，以确保生成的视频在视觉特征上具有一致性。例如，设 ${\mathcal{F}}_t$ 为当前的噪声帧，${\mathcal{F}}_r$ 为参考帧，则生成过程可以表示为：

$${\mathcal{F}}_{t-1}=f({\mathcal{F}}_t,{\mathcal{F}}_r,{\mathcal{F}}_{t-1},{\mathcal{F}}_{t-2})+ϵ.\text{\hspace{1em}(9)}$$

这里的 $f$ 表示通过网络学习到的去噪函数，$ϵ$ 为噪声项。下图是项目中获取的人脸的68个地标点的图片。

2. 交互引导模块（Interactive Guidance Module, IGM）：在生成交互视频时，交互引导模块会动态调整不同角色的生成参数，以确保角色之间的互动自然且同步。该模块通过比较角色之间的对话内容、表情同步以及音频和视频的匹配度，来优化生成过程。

3. 损失函数的应用：为了确保生成结果的质量，我们在扩散模型的训练中引入了多个损失函数，包括均方误差（MSE）损失、唇同步损失和变分下界损失。其中，唇同步损失可以表示为：

$${\mathcal{L}}_{\text{lip}}=\sum _{t=1}^T{\Vert \text{Lip}(X_t)-\text{Audio}(t)\Vert }^2.\text{\hspace{1em}(10)}$$

通过最小化这一损失，模型可以确保生成的视频中的嘴唇运动与音频内容一致，使得生成的视频看起来更加真实。

4. 结论与展望

通过深入了解扩散模型的公式推导和数学原理，可以看出扩散模型在生成图像和视频方面的强大能力。扩散模型通过前向扩散和逆向去噪两个过程，逐步将噪声图像还原为高质量的生成图像。再结合今年的ICLR2025的一篇投稿文章[4]首先提出了将扩散模型类比成为了进化算法的理念，扩散模型依然还有很多信息需要我们挖掘。

未来，扩散模型有望在生成多模态内容方面发挥更大的作用，特别是在虚拟助手、虚拟社交以及远程教育等需要交互生成的领域。通过与大型语言模型结合，扩散模型将能够更好地理解和响应用户的输入，从而生成更加智能和个性化的内容。并且对智能体和马尔可夫链的研究有很大的帮助。

版权声明
本文被以下参考引用内容外均为J0hn原创内容，最终解释权归原作者所有。如有侵权，请联系删除。未经本人授权，请勿私自转载！

5. 参考资料

[1]. Stypułkowski, M., Vougioukas, K., He, S., Zięba, M., Petridis, S. and Pantic, M., 2024. Diffused heads: Diffusion models beat gans on talking-face generation. In Proceedings of the IEEE/CVF Winter Conference on Applications of Computer Vision (pp. 5091-5100).
[2]. Ho, J., Jain, A. and Abbeel, P., 2020. Denoising diffusion probabilistic models. Advances in neural information processing systems, 33, pp.6840-6851.
[3]. Ronneberger, O., Fischer, P. and Brox, T., 2015. U-net: Convolutional networks for biomedical image segmentation. In Medical image computing and computer-assisted intervention–MICCAI 2015: 18th international conference, Munich, Germany, October 5-9, 2015, proceedings, part III 18 (pp. 234-241). Springer International Publishing.
[4]. Zhang, Y., Hartl, B., Hazan, H. and Levin, M., 2024. Diffusion Models are Evolutionary Algorithms. arXiv preprint arXiv:2410.02543.
[5]. Chen, M., Mei, S., Fan, J. and Wang, M., 2024. An overview of diffusion models: Applications, guided generation, statistical rates and optimization. arXiv preprint arXiv:2404.07771.