《算法竞赛》学习记录之状态压缩dp旅行商TSP问题

旅行商问题

问题：有n个城市，已知任何两个城市之间的距离（或者费用），一个旅行商从某城市出发，经过每一个城市并且只经过一次，最后回到出发的城市，输出最短（或者费用最少）的线路。
背景：旅行商问题是一个经典的NP问题，不存在多项式时间内的解，使用暴力法时间复杂度将达到n！，但是可以使用动态规划来解，时间复杂度为2^n×(n×n)。（模板的TSP问题应该可以使用模拟退火算法解决，但是还没有写）。
思路：
对于暴力法，每次选择一个城市进行选择，然后枚举下一个城市，第一次选择次数为n，第二次选择次数为n-1，直到第n次为1个选择,时间为n*（n-1）…1=n!。
动态规划设计如下：
由于一个城市只有两种状态，即走或者不走，所以使用二进制来表示将节省大量，我们设dp[S][v]表示此时已走过的城市（或待走的城市）状态为S，其中S的二进制中第i为1则表示已走（或未走），为0则未走（或已走）；其值为到达这种状态（即此时走过城市状态为S，目前在v号城市这种状态）所需的最少花费；例如此时有四个城市，S=6=二进制下的0100，此时已走过了三号城市，还未走一号二号四号城市。目的状态为dp[(1<<n)-1][0]；(1<<n)-1的值为11…111，即连续n个1。
状态转移方程如下：
dp[0][0]=0；//表示目前一个城市也没有走，且当前在初始城市，此时花费为0
dp[S][v]=min(dp[S][v],dp[S-(1<<u)][u]);//其中u为S已走过的一个城市，在第u位上为1，表示走过城市状态为S，目前在v号城市这种状态从走过城市状态为S’，目前在u号城市这种状态经过一步u->v得到；其中S’为S-{u}。
代码如下：

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main2 {
	static int[][] dis;
	static int[][] dp;
	static int n;
	public static void main(String[] args) {
		// TODO 自动生成的方法存根
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		System.out.println("输入多少个城市 多少条道路：");
		n=sc.nextInt();
		dp=new int[1<<n][n];
		dis=new int[n][n];
		int m=sc.nextInt();
		for(int i=0;i<n;i++) {
			Arrays.fill(dis[i],10000);
			dis[i][i]=0;
		}
		System.out.println("输入从 i 到 j 的值为 x");
		for(int i=0;i<m;i++) {
			int x=sc.nextInt();
			int y=sc.nextInt();
			int val=sc.nextInt();
			dis[x][y]=dis[y][x]=val;
		}
		solve();
	}
	static void solve() {
		for(int i=0;i<1<<n;i++)
			Arrays.fill(dp[i],10000);
		dp[0][0]=0;
		for(int s=0;s<(1<<n);s++) {	//枚举所有城市状态，可以证明大的状态一定由比它小的状态得到
			for(int v=0;v<n;v++) {	//枚举当前城市
				for(int u=0;u<n;u++) {	//枚举之前一步所在城市
					if((s>>u&1)!=0)	//之前一步必须为走过的城市，当前城市却可以是走过也可以是没走过
						dp[s][v]=Math.min(dp[s][v],dp[s-(1<<u)][u]+dis[u][v]);
//					System.out.println(s+" "+u+" "+dp[s][u]);
				}
			}
		}
		if(dp[(1<<n)-1][0]!=10000)
			System.out.println(dp[(1<<n)-1][0]);
		else
			System.out.println("无解");
	}
}

PS：其中v的选择既可以是走过的城市或者是未走过的城市，因为最后我们需要求dp[(1<<n)-1][0]的值，最后时候要回到初始节点，所以最后将会选择一个已走过的城市。