5. 最长回文子串

题目描述：
给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000

示例：
输入: “babad”
输出: “bab”
注意: “aba” 也是一个有效答案。

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解题思路：动态规划
对于一个子串而言，如果它是回文串，而且长度大于2，那么将它首尾的两个字母去除后，它仍然是个回文串。例如对于字符串“ababa”，如果我们已经知道“bab”是回文串，那么“ababa”一定是回文串，因为它的首尾两个字母都是“a”。
根据这样的思路，可以采用动态规划的方法解决本题。我们用 P(i, j) 表示字符串 s 的第 i 到 j 个字母组成的串 s[i: j] 是否为回文串：

这里的其他情况包括两种可能性：
(1) s[i, j] 本身不是一个回文串
(2) i > j，此时 s[i: j] 本身不合法。

那么我们就可以写出状态转移方程：

也就是说，只有 s[i+1 : j-1] 是回文串，并且 s 的第 i 和第 j 个字母相同时，s[i: j] 才会是回文串。

上文的所有讨论是建立在子串长度大于2的前提之上的，我们还需要考虑动态规划中的边界条件，即子串的长度为1或2.对于长度为1的子串，它显然是回文串；对于长度为2的子串，只要它的两个字母相同，它就是一个回文串。因此，我们可以写出动态规划的边界条件：

根据这个思路，我们就可以完成动态规划了，最终的答案即为所有 P(i, j) = true 中 j-i+1 (即子串长度) 的最大值。
注意：在状态转移方程中，我们是从长度较短的字符串向长度较长的字符串进行转移的，因此一定要注意动态规划的循环顺序。

下面以一个例子来描述其具体过程：
假设字符串为“ababd”，求其最长回文串。
当 k=1 时，我们可以得到
dp[i][i] = true。因为对于任意单个字符，都可以看作回文串。

当 k = 1 时(长度为2，判断相邻两个字符是否相同)，i + k < 5，即 i < 4;

i = 0, j = i + k = 1; dp[0][1] = (s.charAt(0) == s.charAt(1)); //dp[0][1] = false;
i = 1, j = i + k = 2; dp[1][2] = (s.charAt(1) == s.charAt(2)); //dp[1][2] = false;
i = 2, j = i + k = 3; dp[2][3] = (s.charAt(2) == s.charAt(3)); //dp[2][3] = false;
i = 3, j = i + k = 4; dp[3][4] = (s.charAt(3) == s.charAt(4)); //dp[3][4] = false;

判断：

if(dp[i][j] && k+1 > ans.length()){
    ans = s.substring(i,j+1);
}

在 i = 0, j=1 的时候，就满足该 if 条件，故 ans = “a”;

当 k = 2 时(长度为3，中间间隔一个字符)，i + k < 5，即 i < 3;

i = 0, j = i + k = 2; dp[0][2] = (s.charAt(0) == s.charAt(2) && dp[1][1]); //dp[0][2] = true;
i = 1, j = i + k = 3; dp[1][3] = (s.charAt(1) == s.charAt(3) && dp[2][2]); //dp[1][3] = true;
i = 2, j = i + k = 4; dp[2][4] = (s.charAt(2) == s.charAt(4) && dp[3][3]); //dp[2][4] = false;

判断：

if(dp[i][j] && k+1 > ans.length()){
    ans = s.substring(i,j+1);
}

在 i = 0, j=2 时就满足 if 条件， ans = “bab”;

当 k = 3 时(长度为4，中间间隔两个字符)，i + k < 5，即 i < 2;

i = 0, j = i + k = 3; dp[0][3] = (s.charAt(0) == s.charAt(3) && dp[1][2]); //dp[0][3] = false;
i = 1, j = i + k = 4; dp[1][4] = (s.charAt(1) == s.charAt(4) && dp[2][3]); //dp[2][4] = false;

判断：

if(dp[i][j] && k+1 > ans.length()){
    ans = s.substring(i,j+1);
}

在k=3的整个循环内都不满足 if 条件。

当 k = 4 时(长度为5，中间间隔三个字符)，i + k < 5，即 i < 1;

i = 0, j = i + k = 4; dp[0][4] = (s.charAt(0) == s.charAt(4) && dp[2][3]); //dp[0][4] = false;

在k=3的整个循环内都不满足 if 条件。

所以最终的答案为：“bab”

注：上述方式得到的是字符串中出现的第一个最长回文子串
依据：k+1 > ans.length()；如果是 >= 符号的话，得到的会是最后出现的最长回文子串。

class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        int n = s.length();
        boolean[][] dp = new boolean[n][n];
        String ans = "";
        for(int k = 0; k < n; k++){
            for(int i = 0; i + k < n; i++){
                int j = i + k;
                if(k == 0){
                    dp[i][j] = true;
                }else if(k == 1){
                    dp[i][j] = (s.charAt(i) == s.charAt(j));
                }else{
                    dp[i][j] = (s.charAt(i) == s.charAt(j) && dp[i+1][j-1]);
                }
                if(dp[i][j] && k+1 > ans.length()){
                    ans = s.substring(i,j+1);
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}