牛顿迭代法以及求平方根的应用

牛顿迭代法以及求平方根的应用

设 $x^*$ 是一元非线性方程的根，函数 $f(x)$ 在 $x^*$ 的某领域内连续可微， $x^*$ 是某个迭代的近似根，且 $f'(x_k)\neq0$。 $f'(x_k)$在点 $x_k$处进行一阶泰勒展开，可得

$$f(x_k) \approx f(x_k)+ f’(x_k)(x-x_k)$$
则方程$f(x)=0$可近似表示为：
$$f(x_k)+ f’(x_k)(x-x_k)=0$$
这是一个线性方程，可解得
$$x= x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$
将其右项作为新的迭代值$x_{K+1}$，则可得迭代公式：

$$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}, k=0,1,2...$$

求平方根的分析

若要求$x=\sqrt{c}$，即求等价方程 $f(x)=x-c^2=0, f'(x)=2x$。由牛顿迭代公式可得：

$$x_{k+1} = \frac{1}{2}(x_k+\frac{c}{x_k}), k=0,1,2...$$

Java代码用牛顿迭代法求平方根

public static double sqrt(double c){
    if(c<0)
        return Double.NaN;
    double err=1e-15;
    double t=c;
    while(Math.abs(t-c/t)>err*t)
        t=(c/t+t)/2.0;
    return t;
}