GR：tensor

3.张量的缩并（Contradictions）

$$A^{i_1...i_p}_{j_1...j_q}\longrightarrow A^{i_1...i_{p-1} \lambda}_{j_1...j_{q-1}\lambda}=B^{i_1...i_{p-1}}_{j_1...j_{q-1}}$$
最简单的情况： $$C:V^*\otimes V \longrightarrow k,\langle f,v\rangle=f(v)$$
设$T=T^i_je_i\otimes e^j$, $$C(T)=T_i^je^j(e_i)=T^i_i=T^1_1+T^2_2+...T^n_n$$
练习1：证明$B_v=A^i_{vi}$是协变张量；
补充一点：对于协变张量$\displaystyle A_{i'j'}(y(x))=\frac{\partial x^i}{\partial y^{i'}}\frac{\partial x^j}{\partial y^{j'}}A_{ij}(x)$,简单的例子就是函数的导数$\partial_if$,在坐标变换$x^i\to y^i$以后$\displaystyle \partial_j \bar{f}(y(x))=\partial_j f(x(y))=\partial_i f(\frac{\partial x^i}{\partial y^j})$;对于反变张量$\displaystyle B^{i'j'}=B^{ij} \frac{\partial y^{i'}}{\partial x^i }\frac{\partial y^{j'}}{\partial x^j}$,一个简单的例子就是曲线的切向量$\dot{x}^i \to \dot{y}^i$,变换后的$\dot{y}^j=(\frac{\partial y^j}{\partial x^i})\dot{x}^i$;证明本题：$\displaystyle A^{i'}_{j'i'}=A^i_{ji}\frac{\partial x^j}{\partial y^{j'}}\frac{\partial x^i}{\partial y^{i'}}\frac{\partial y^{i'}}{\partial x^{i}}=A^i_{ji}\frac{\partial x^j}{\partial y^{j'}}$
练习2：证明$A^i_{ji}$和$A^i_{ij}$是不一样的张量。可以举反例：$A^1_{11}=1$,$A^1_{12}=2$,$A^1_{21}=3$,$A^{1}_{22}=4$,$A^2_{11}=5,A^2_{12}=6,A^2_{21}=7，A^2_{22}=8$显然的：$A_{1i}^i=7,A_{i1}^i=8$。
练习3 ：证明$V^* \otimes V \longrightarrow L(V)$是同构的。$(e^i,e_j)\to E_{ij}$
4.指标的升降
(2)对偶：$V_{\mu}=g_{\mu\nu}V^{\nu},A^{\mu}=g^{\mu\nu}A_{\nu}$
(3)同构关系
$$\begin{align*} V &\longrightarrow& V^*\\ v &\longrightarrow& \langle v,\rangle \end{align*}$$
（4） $$g^{\mu\lambda}g_{\lambda \nu}=\delta^{\mu}_{\nu}$$
5.对称和反对称 设$T_{ij}$是$(0,2)-tensor$将其分解成对称和反对称：
$$T_{ij}=\frac{1}{2}(T_{ij}+T_{ji})+\frac{1}{2}(T_{ij}-T_{ji})=T_{(ij)}+T_{[ij]}$$
$$T_{(ijk)}=\frac{1}{3!}(T_{ijk}+T_{ikj}+T_{jik}+T_{jki}+T_{kij}+T_{kji})$$
$$T_{[ijk]}=\frac{1}{3!}(T_{ijk}-T_{ikj}-T_{jik}+T_{jki}+T_{kij}-T_{kji})$$
练习：试着证明：如果对于每个余向量$U_{\mu}$都有$\displaystyle U_{\mu_1}A^{\mu_1..\mu_p} _{\nu_1..\nu_q}$是$(p-1,q)$阶张量，那么$A$是$(p,q)$张量。
权重是$\omega$的张量密度：

练习：证明$\bar{T}$是密度权重为$\omega$的张量$iff$ $\bar{T}=g^{\omega/2}T$其中$T$是张量。
练习：写一篇关于Lieve-Civita符号$\epsilon_{ijkl}$性质的综述。
练习：证明 $$\frac{1}{4!}\epsilon_{ijkl}dx^idx^jdx^kxd^l=\sqrt{g}d^4x \qquad (3.103)$$
练习： $$ds^2=R^2(d\theta^2+\sin \theta^2d\phi^2)\qquad(3.125)$$
例子：schwar metric（3.135）
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