分布函数总结

各种重要的分布函数

Gamma 分布

定义：Gamma 分布（Gamma Distribution）是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布含有两个参数，其中参数 $\alpha$ 称为形状参数（shape parameter），参数 $\beta$ 称为尺度参数（scale parameter）。需要指出的是，千万不要将Gamma分布与Gamma函数混淆。

(1) Gamma 函数的数学表达式如下：

$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{t}^{\alpha -1}{e}^{-\alpha }dt$$

(2) Gamma 分布的数学表达式如下：

$$X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )$$
$$f_X(x|\alpha ,\beta )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x},x>0\alpha ,\beta >0$$ $$E(X)=\frac{\alpha }{\beta }$$ $$D(x)=\frac{\alpha }{{\beta }^2}$$

Gamma分布和很多著名分布存在紧密联系：厄兰分布（Erlang distribution）、卡方分布（Chi-squared distribution）、指数分布（Exponential distribution）、贝塔分布（Beta distribution）都是 Gamma 分布的一个特例。

• 当 $\alpha$ 为整数的时候，Gamma 分布就变成一个厄兰分布。
• 当 $\alpha =n/2,\beta =1/2$ 时，Gamma 分布变成一个卡方分布。
• 当 $\alpha =1,\beta =\lambda$ 时，Gamma 分布变成一个参数为$\lambda$的指数分布：
  $$f_X(x|\alpha =1,\beta =\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}$$

Gamma 分布的性质

• Gamma 分布的可加性
  假设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，且都服从 Gamma 分布，$X_i\sim \Gamma ({\alpha }_i,\beta )$. 令 $Y=X_1+X_2+\cdots +X_n$，则 $Y\sim \Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n,\beta )$ Gamma 分布。