各种重要的分布函数
Gamma 分布
定义：Gamma 分布（Gamma Distribution）是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布含有两个参数，其中参数 α \alpha α 称为形状参数（shape parameter），参数 β \beta β 称为尺度参数（scale parameter）。需要指出的是，千万不要将Gamma分布与Gamma函数混淆。
(1) Gamma 函数的数学表达式如下：
Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ t α − 1 e − α   d t \Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}t^{\alpha-1} e^{-\alpha} \,dt Γ(α)=∫0+∞tα−1e−αdt
(2) Gamma 分布的数学表达式如下：
X
∼
Γ
(
α
,
β
)
X\sim\Gamma(\alpha,\beta)
X∼Γ(α,β)
f
X
(
x
∣
α
,
β
)
=
β
α
Γ
(
α
)
x
α
−
1
e
−
β
x
,
x
>
0
α
,
β
>
0
f_X(x| \alpha,\beta)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}, \qquad x>0 \quad \alpha,\beta>0
fX(x∣α,β)=Γ(α)βαxα−1e−βx,x>0α,β>0
E
(
X
)
=
α
β
E(X)=\frac{\alpha}{\beta}
E(X)=βα
D
(
x
)
=
α
β
2
D(x)=\frac{\alpha}{\beta^2}
D(x)=β2α
Gamma分布和很多著名分布存在紧密联系：厄兰分布（Erlang distribution）、卡方分布（Chi-squared distribution）、指数分布（Exponential distribution）、贝塔分布（Beta distribution）都是 Gamma 分布的一个特例。
- 当 α \alpha α 为整数的时候，Gamma 分布就变成一个厄兰分布。
- 当 α = n / 2 , β = 1 / 2 \alpha=n/2,\beta=1/2 α=n/2,β=1/2 时，Gamma 分布变成一个卡方分布。
- 当
α
=
1
,
β
=
λ
\alpha=1, \beta=\lambda
α=1,β=λ 时，Gamma 分布变成一个参数为
λ
\lambda
λ的指数分布：
f X ( x ∣ α = 1 , β = λ ) = λ e − λ x f_X(x|\alpha=1,\beta=\lambda)=\lambda e^{-\lambda x} fX(x∣α=1,β=λ)=λe−λx
Gamma 分布的性质
- Gamma 分布的可加性
假设随机变量 X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1,X2,⋯,Xn 相互独立，且都服从 Gamma 分布， X i ∼ Γ ( α i , β ) X_i \sim \Gamma(\alpha_i,\beta) Xi∼Γ(αi,β). 令 Y = X 1 + X 2 + ⋯ + X n Y=X_1+X_2+\cdots+X_n Y=X1+X2+⋯+Xn，则 Y ∼ Γ ( α 1 + α 2 + ⋯ + α n , β ) Y\sim \Gamma(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n,\beta) Y∼Γ(α1+α2+⋯+αn,β) Gamma 分布。
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