常用分布函数

0-1分布

设随机变量X只可能取0与1两个值，分布律为

P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1(0<p<1)P\{X=k\} = p^k(1-p)^{1-k}, k=0,1 (0<p<1)P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1(0<p<1)

则称X服从以P为参数的0-1分布。

二项分布

设随机变量X只可能取0和1两个值，记: $P(X=1)=p,P(X=0)=1-p$, 将该实验重复独立的进行 $n$ 次，设 $X=1$ 的次数为 $k$ 则

P{X=k}=Cnkpk(1−p)n−k(0<p<1)P\{X=k\} = C^k_n p^k(1-p)^{n-k} (0<p<1)P{X=k}=Cnk​pk(1−p)n−k(0<p<1)

二项分布（binomial distribution）就是对只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

泊松分布

设随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,…,而取各个值的概率为

P{X=k}=λke−λk!k=0,1,2...P\{X=k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \quad k=0,1,2... P{X=k}=k!λke−λ​k=0,1,2...

其中 $\lambda >0$ 是常数，称X服从参数为λ的泊松分布，记做 X ~ π(λ)

泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数.

二项式分布与泊松分布的关系

$$C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}\approx \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$$

其中 $\lambda =np$

均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度

$$f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{b-a}(a<x<b)\\ 0,其他\end{array}$$

则称X在区间[a,b]上服从均匀分布，记做X ~ U(a,b)

指数分布

若连续型随机变量X的概率密度为:

$$f(x)=\{\begin{array}{c}\lambda e^{-\lambda x}(\lambda >0)\\ 0,其他\end{array}$$

则称X服从参数λ的指数分布.其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。λ表示每单位时间内发生某事件的次数。

用于描述: 指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔。比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔；许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。

正态分布

若连续性随机变量X的概率密度为

$$f(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

则称X为正态分布函数.

用于描述: 在生产条件不变的情况下,产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量。

参考

https://blog.youkuaiyun.com/qq_23937341/article/details/95539840